Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
,
por
e
por 1, o que nos dá:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: