Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=0

Passo 1

Ok, vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar soluções gerais para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos r^2 - 2r - 3 = 0 por , por e por 1, o que nos dá:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 para encontrar os valores de r = 2 pm raiz4 + 122 . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz162
r = 2 pm 42
r1 = 2 + 42 = 3
r2 = 2 - 42 = -1
Isso nos dá duas raízes:

Passo 4

Com as raízes y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x e , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x é:

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