Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
d) y=4 x^2+8 x+5

Passo 1

O enunciado pede pra esboçar o gráfico da cônica dada por y=4x^2+8x+5, identificando vértice, foco, centro (se houver) e assíntotas (se houver). Trata-se de uma parábola vertical, então vamos usar a técnica de completar o quadrado para colocá-la na forma y-k=a(x-h)^2.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
y=4x^2+8x+5=4l(x^2+2xr)+5 =4l((x+1)^2-1r)+5 =4(x+1)^2+1
Assim obtemos a forma canônica y-1=4(x+1)^2, logo o vértice é (h,k)=(-1,1).

Passo 3

Para achar o foco e a diretriz escrevemos a forma padrão de parábola vertical:
(x-h)^2=tfrac1a,l(y-kr),
que equivale a (x+1)^2=tfrac14(y-1). Como no padrão (x-h)^2=4p(y-k) temos 4p=1/4, segue p=1/16. Portanto:
• foco: (h, k+p)=(-1,1+1/16)=(-1,17/16)
• diretriz: y=k-p=1-1/16=15/16
• eixo de simetria: reta x=-1.

Passo 4

Como é uma parábola, não há centro nem assíntotas. O esboço é uma curva estreita voltada para cima, com vértice em (-1,1), foco logo acima, em (-1,17/16), e diretriz horizontal y=15/16.

Resposta

Parábola de abertura para cima, vértice em (-1,1), foco em (-1,17/16), diretriz y=15/16, eixo de simetria x=-1. Sem centro nem assíntotas. O esboço é uma curva estreita voltada para cima com esses elementos destacados.

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