Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x
usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 2y’ + y = e^{-x} $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o termo $ e^{-x} $:
e^-x
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, obtemos:
y = e^rx
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rx + 2r e^rx + e^rx = 0
Essa é a equação característica.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 2r + 1 = 0
Podemos fatorar:
(r + 1)^2 = 0
Portanto, $ r = -1 $ com multiplicidade 2.

Passo 5

Como a raiz $ r = -1 $ é repetida, a solução geral da equação homogênea é:
r = -1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação completa $ y’’ + 2y’ + y = e^{-x} $ usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o termo do lado direito é $ e^{-x} $, que já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para encontrar uma solução particular:
yp

Passo 7

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = (2Ax + B)e^-x + (Ax^2 + Bx)(-e^-x) = (2Ax + B - Ax^2 - Bx)e^-x

Passo 8

Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 9

Resolvendo, encontramos:
A = -12
B = 0
Portanto, a solução particular é:
yp = -12x^2 e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (C1 + C2 x)e^-x - 12x^2 e^-x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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