Determine a solução geral da seguinte equação diferencial:
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + 2y’ + y = e^{-x} $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução da equação homogênea associada, ou seja, a equação sem o termo $ e^{-x} $:
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rx} $ na equação homogênea, obtemos:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Essa é a equação característica.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar:
Portanto, $ r = -1 $ com multiplicidade 2.
Passo 5
Como a raiz $ r = -1 $ é repetida, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação completa $ y’’ + 2y’ + y = e^{-x} $ usando o método dos coeficientes indeterminados.
Como o termo do lado direito é $ e^{-x} $, que já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para encontrar uma solução particular:
Passo 7
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Passo 8
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 9
Resolvendo, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.