Resolva a equação diferencial utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
y^prime prime - 4 y^prime + 4 y = x^2
Estamos usando o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que têm formas específicas, como polinômios, exponenciais ou senos e cossos. Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^prime prime - 4 y^prime + 4 y = 0
Para isso, usamos a equação característica, que é obtida substituindo $ y = e^{r x} $ na equação diferencial:
y = e^r x

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0
Podemos fatorar isso como:
(r - 2)^2 = 0
Então, temos uma raiz dupla $ r = 2 $.

Passo 4

Com a raiz dupla $ r = 2 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 2
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ para a equação completa:
yp(x)
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
y^prime prime - 4 y^prime + 4 y = x^2
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_{p}(x) $:
yp(x)
yp^prime(x) = 2A x + B

Passo 7

Substituímos $ y_{p}(x) $, $ y_{p}^{\prime}(x) $ e $ y_{p}^{\prime \prime}(x) $ na equação diferencial:
yp(x)
Simplificando:
yp^prime(x)
Rearranjando os termos:
yp^prime prime(x)

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
x^2
Para $ x $:
4A = 1 Rightarrow A = 14
Para o termo constante:
x

Passo 9

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
A

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^2x + 14 x^2 + 12 x + 38

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (C1 + C2 x) e^2x + 14 x^2 + 12 x + 38

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