Resolva a equação diferencial utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Estamos usando o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que têm formas específicas, como polinômios, exponenciais ou senos e cossos. Para resolver isso, precisamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é obtida substituindo $ y = e^{r x} $ na equação diferencial:
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Podemos fatorar isso como:
Então, temos uma raiz dupla $ r = 2 $.
Passo 4
Com a raiz dupla $ r = 2 $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_{p}(x) $ para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_{p}(x) $:
Passo 7
Substituímos $ y_{p}(x) $, $ y_{p}^{\prime}(x) $ e $ y_{p}^{\prime \prime}(x) $ na equação diferencial:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para $ x^{2} $:
Para $ x $:
Para o termo constante:
Passo 9
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: