Mostre, usando o princípio de indução, que:
é múltiplo de 24 para todo
par.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que
é múltiplo de 24 para todo número par
. A matéria que vamos usar aqui é exatamente o princípio da indução, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um caso base. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é múltiplo de 24. Queremos mostrar que, quando subtrairmos 1 de
, o resultado é divisível por 24, ou seja,
dividido por 24 não deixa resto.
Passo 3
Vamos começar escolhendo o caso base. Como a afirmação é para todo número par
, vamos começar com o menor número par, que é
.
Passo 4
Calculando para
:
24 é múltiplo de 24, então o caso base é verdadeiro.
Passo 5
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número par
, ou seja, assumimos que:
Isso é a nossa hipótese de indução.
Passo 6
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, ela também será verdadeira para
(pois estamos lidando com números pares).
Calculando para
:
Podemos reescrever isso como:
Segundo a nossa hipótese de indução,
é múltiplo de 24. Além disso,
obviamente é múltiplo de 24. Portanto, a soma dos dois é múltiplo de 24.
Resposta
Assim, por indução matemática, mostramos que
é múltiplo de 24 para todo número par
.