Mostre, usando o princípio de indução, que:
5^n-1 é múltiplo de 24 para todo n par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar, usando o princípio da indução matemática, que 5^n - 1 é múltiplo de 24 para todo número par n. A matéria que vamos usar aqui é exatamente o princípio da indução, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um caso base. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que 5^n - 1 é múltiplo de 24. Queremos mostrar que, quando subtrairmos 1 de 5^n, o resultado é divisível por 24, ou seja, 5^n - 1 dividido por 24 não deixa resto.

Passo 3

Vamos começar escolhendo o caso base. Como a afirmação é para todo número par n, vamos começar com o menor número par, que é n = 2.

Passo 4

Calculando para n = 2:
5^2 - 1 = 25 - 1 = 24
24 é múltiplo de 24, então o caso base é verdadeiro.

Passo 5

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número par k, ou seja, assumimos que:
5^k - 1 é múéú
Isso é a nossa hipótese de indução.

Passo 6

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para k, ela também será verdadeira para k + 2 (pois estamos lidando com números pares).
Calculando para k + 2:
5^k+2 - 1 = 5^k cdot 5^2 - 1 = 25 cdot 5^k - 1
Podemos reescrever isso como:
25 cdot 5^k - 1 = 24 cdot 5^k + 5^k - 1
Segundo a nossa hipótese de indução, 5^k - 1 é múltiplo de 24. Além disso, 24 cdot 5^k obviamente é múltiplo de 24. Portanto, a soma dos dois é múltiplo de 24.

Resposta

Assim, por indução matemática, mostramos que 5^n - 1 é múltiplo de 24 para todo número par n.

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