Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
ly^prime prime+2 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações lineares homogêneas de coeficientes constantes e vamos precisar usar o polinômio característico.

Passo 2

Para resolver
y^{\prime\prime}+2y=0
, montamos o polinômio característico associando y\mapsto e^{rt}:
r^2+2=0
.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico, temos as raízes complexas:
r^2=-2
r=pm iraiz2
. Isso indica que a solução geral da homogênea é combinação de funções seno e cosseno, já que raízes complexas conjuntas r=α±iβ levam a e^{αt}(C_1,\cos(βt)+C_2,\sin(βt)). Aqui α=0 e β=\sqrt{2}.

Passo 4

Logo, a solução geral da equação é
y(t)=C1,cos(raiz2t)+C2,sin(raiz2t)
.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=2 implica:
y(0)=C1,cos0+C2,sin0=C1=2
.

Passo 6

Em seguida, calculamos y’(t):
y'(t)=-C1,raiz2sin(raiz2t)+C2,raiz2cos(raiz2t)
. Avaliando em t=0 e usando y’(0)=-1:
y'(0)=-C1,raiz2cdot0+C2,raiz2cdot1=raiz2C2=-1
C2=-1raiz2
.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=2cos(raiz2t)-1raiz2sin(raiz2t)

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