Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolve equações lineares homogêneas de coeficientes constantes e vamos precisar usar o polinômio característico.
Passo 2
Para resolver
y^{\prime\prime}+2y=0
, montamos o polinômio característico associando y\mapsto e^{rt}:
y^{\prime\prime}+2y=0
, montamos o polinômio característico associando y\mapsto e^{rt}:
.
Passo 3
Resolvendo o polinômio característico, temos as raízes complexas:
. Isso indica que a solução geral da homogênea é combinação de funções seno e cosseno, já que raízes complexas conjuntas r=α±iβ levam a e^{αt}(C_1,\cos(βt)+C_2,\sin(βt)). Aqui α=0 e β=\sqrt{2}.
Passo 4
Logo, a solução geral da equação é
.
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=2 implica:
.
Passo 6
Em seguida, calculamos y’(t):
. Avaliando em t=0 e usando y’(0)=-1:
.
Passo 7
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.