Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
ly^prime prime-2 y^prime+y=0 y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valores iniciais y'' - 2y' + y = 0 com y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo é EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes, escrever a solução geral e usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo, obtemos r = 1 como raiz dupla.

Passo 3

Como r = 1 tem multiplicidade 2, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 4

Calculamos y'(x) e aplicamos as condições iniciais:
y'(x) = C1 e^x + C2 e^x + C2 x e^x = (C1 + C2)e^x + C2 x e^x
Em x=0:
y(0) = C1 = 1,
y'(0) = C1 + C2 = 1
Assim, C1 = 1 e C2 = 0.

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, concluímos:
y(x) = e^x

Resposta

y(x) = e^x

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