Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
ly^prime prime+9 y=0 y(pi2)=2, y^prime(pi2)=1

Passo 1

A gente tem um PVI com a EDO y'' + 9y = 0 e condições y(pi/2) = 2 e y'(pi/2) = 1. É um problema de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante, e vamos precisar usar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores de C1 e C2.

Passo 2

A equação característica associada a y'' + 9y = 0 é r^2 + 9 = 0. Suas raízes são complexas, r = pm 3i, então a solução geral é y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x).

Passo 3

Para usar y(pi/2) = 2, calculamos y(pi/2) = C1cos(3pi/2) + C2sin(3pi/2). Sabemos que cos(3pi/2) = 0 e sin(3pi/2) = -1, logo y(pi/2) = -C2. Igualando a 2, temos C2 = -2.

Passo 4

Agora derivamos a solução geral: y'(x) = -3C1sin(3x) + 3C2cos(3x). Avaliando em x = pi/2, usando sin(3pi/2) = -1 e cos(3pi/2) = 0, obtemos y'(pi/2) = 3C1. Como y'(pi/2) = 1, daí C1 = 1/3.

Passo 5

Com C1 e C2 em mãos, é só substituir na expressão geral y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) para ter a solução do PVI.

Resposta

y(x) = 13cos(3x) - 2sin(3x)

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