Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
ly^prime prime+2 y^prime+5 y=0 y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valores iniciais de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes complexas e então usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

A equação característica associada à equação y'' + 2y' + 5y = 0 é encontrada trocando y por e^rx. Isso nos dá
r^2 + 2r + 5 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^2 + 2r + 5 = 0 pelo discriminante:
De

Passo 4

Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
r = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2,i

Passo 5

Quando as raízes são alpha pm beta i, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Passo 6

Aqui temos alpha = -1 e beta = 2, então
y(x) = e^-xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

Passo 7

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando:
y'(x) = e^-xl(-C1cos(2x) - C2sin(2x)r) + e^-xl(-2C1sin(2x) + 2C2cos(2x)r)

Passo 8

No ponto x=0 temos:
  • y(0) = C1 = 1 pela condição y(0)=1.
  • y'(0) = (-C1 + 2C2) = -1 + 2C2 e isso deve ser igual a -2 pela condição y'(0)=-2.
    Da equação -1 + 2C2 = -2 segue que 2C2 = -1 e, portanto, C2 = -tfrac12.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = e^-xl(cos(2x) - tfrac12sin(2x)r)

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