Determine a solução geral do seguinte problema de valores iniciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valores iniciais de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar montar a equação característica, encontrar suas raízes complexas e então usar as condições iniciais para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
A equação característica associada à equação
é encontrada trocando
por
. Isso nos dá
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
pelo discriminante:
Passo 4
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 5
Quando as raízes são
, a solução geral é
Passo 6
Aqui temos
e
, então
Passo 7
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de
. Derivando:
Passo 8
No ponto
temos:
-
pela condição . -
e isso deve ser igual a pela condição .
Da equaçãosegue que e, portanto, .
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é