Encontre uma EDO do tipo y^prime prime+a y^prime+b y=0 que tenha o seguinte sistema fundamental de soluções:
e^2 x, e^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma EDO linear homogênea de segunda ordem do tipo y'' + a y' + b y = 0 cujo sistema fundamental de soluções é e^2x,e^x. O assunto é EDOs lineares com coeficientes constantes e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Associamos à EDO a equação característica correspondente, obtida ao substituir y=e^rx em y'' + a y' + b y = 0. Isso gera
r^2 + a r + b = 0

Passo 3

Como as soluções fundamentais são e^2x e e^x, os valores de r que anulam a característica são r1 = 2 e r2 = 1. Pela teoria de equações polinomiais, a soma das raízes é
r1 + r2 = -a
e o produto das raízes é
r1 cdot r2 = b

Passo 4

Substituindo r1=2 e r2=1 temos: soma 2+1=3, logo -a = 3 e a = -3; produto 2 cdot 1 = 2, logo b = 2.
Portanto, a EDO buscada é
y'' - 3y' + 2y = 0

Resposta

y’’ - 3y’ + 2y = 0

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