Determine a solução geral da seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea
Informações dadas:
A tarefa é encontrar a solução geral
válida para
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Motivação do método: quando os coeficientes são monômios em
(como aqui), é eficiente tentar uma solução do tipo
, com
constante — isso transforma a EDO em um polinômio em
. Vamos aplicar essa tentativa.
Se
então
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
(que é não nulo para
):
Como
, obtemos a equação característica
Simplificando:
Passo 3
Resolver a equação característica
Fatorando:
portanto as raízes são
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Observação importante (resonância): o termo do lado direito é
, que coincide com uma das soluções da homogênea (
corresponde a
). Quando o termo for da forma
e
é raiz simples da equação característica, a forma usual do particular é
(em vez de
), ou seja, multiplicamos por
para “romper” a ressonância. Aqui
é raiz simples, então tentamos
com
constante a determinar.
Passo 5
Calcular
e
com regras de derivação (produto e derivada de
):
Derivando:
Derivando de novo:
Agora substituir na parte esquerda da equação:
Fatorando
:
Simplificando o que está entre parênteses:
Portanto a expressão inteira fica
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Logo
Assim a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
válida para
(necessário
para
estar definido). Parabéns — essa é a forma que você deve apresentar na prova; se o termo for
coincidente com raiz da característica, lembre-se de multiplicar por
o suficiente para “quebrar” a ressonância.