Determine a solução geral da seguintes EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^{2}, \quad x>0 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária não homogênea
x^{2} y^{\prime\prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^{2},\qquad x>0.
Informações dadas:
\text{(i) } \text{Equação de segunda ordem (não homogênea).}çããê
\text{(ii) } \text{Coeficientes dependem em potências de }x\\ (\text{termo }x^{2},\,-2x,\,2).ê
\text{(iii) } \text{Termo fonte (lado direito) é }x^{2}.é
A tarefa é encontrar a solução geral y(x) válida para x>0.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
x^{2} y^{\prime\prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0.
Motivação do método: quando os coeficientes são monômios em x (como aqui), é eficiente tentar uma solução do tipo y=x^{r}, com r constante — isso transforma a EDO em um polinômio em r. Vamos aplicar essa tentativa.
Se y=x^{r} então
y^{\prime}=r x^{r-1},\qquad y^{\prime\prime}=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação homogênea:
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2}-2x\cdot r x^{r-1}+2\cdot x^{r}=0.
Fatorando x^{r} (que é não nulo para x>0):
x^{r}\bigl[r(r-1)-2r+2\bigr]=0.
Como x^{r}\neq0, obtemos a equação característica
r(r-1)-2r+2=0.
Simplificando:
r^{2}-3r+2=0.

Passo 3

Resolver a equação característica
r^{2}-3r+2=0.
Fatorando:
(r-1)(r-2)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}=C_{1}x+C_{2}x^{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa
x^{2} y^{\prime\prime}-2 x y^{\prime}+2 y=x^{2}.
Observação importante (resonância): o termo do lado direito é x^{2}, que coincide com uma das soluções da homogênea ( x^{2} corresponde a r=2). Quando o termo for da forma x^{k} e k é raiz simples da equação característica, a forma usual do particular é
y_{p}=A x^{k}\ln x
(em vez de A x^{k}), ou seja, multiplicamos por \ln x para “romper” a ressonância. Aqui k=2 é raiz simples, então tentamos
y_{p}=A x^{2}\ln x,
com A constante a determinar.

Passo 5

Calcular y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} com regras de derivação (produto e derivada de \ln x):
y_{p}=A x^{2}\ln x.
Derivando:
y_{p}^{\prime}=A\bigl(2x\ln x + x\bigr)=A x\bigl(2\ln x+1\bigr).
Derivando de novo:
y_{p}^{\prime\prime}=A\bigl(2\ln x+1 + 2\bigr)=A\bigl(2\ln x+3\bigr).
Agora substituir na parte esquerda da equação:
x^{2}y_{p}^{\prime\prime}-2x y_{p}^{\prime}+2 y_{p}
= x^{2}\cdot A(2\ln x+3) -2x\cdot A x(2\ln x+1) +2\cdot A x^{2}\ln x.
Fatorando A x^{2}:
= A x^{2}\bigl(2\ln x+3 -2(2\ln x+1) +2\ln x\bigr).
Simplificando o que está entre parênteses:
2\ln x+3 -4\ln x -2 +2\ln x = (2-4+2)\ln x + (3-2) = 0\cdot\ln x +1 =1.
Portanto a expressão inteira fica
A x^{2}\cdot 1 = A x^{2}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito x^{2}. Logo
A x^{2}=x^{2}\implies A=1.
Assim a solução particular é
y_{p}(x)=x^{2}\ln x.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+x^{2}\ln x,
válida para x>0 (necessário x>0 para \ln x estar definido). Parabéns — essa é a forma que você deve apresentar na prova; se o termo for x^{k} coincidente com raiz da característica, lembre-se de multiplicar por \ln x o suficiente para “quebrar” a ressonância.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+x^{2}\ln x

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