Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que y=y(x).
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+\frac{25}{4} y=0, \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
x^{2}y''+5x y'+\frac{25}{4}y=0,\qquad x>0,
onde y=y(x). Informações dadas e relevantes:
  • A equação é de ordem 2 e homogênea.
  • Os coeficientes dependem de x (há potências de x multiplicando as derivadas).
  • O domínio é x>0 (importante para \ln x e para x^{m} com expoente complexo).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x), com constantes arbitrárias reais.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem formalismos chiques): como a equação tem potências de x multiplicando y'',y' e y, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
y(x)=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo). Essa tentativa funciona porque derivadas de potências de x geram potências de x com expoentes deslocados, permitindo cancelar fatores em comum e reduzir a EDO a uma equação algébrica para m. (Esse é um método direto e rápido para este tipo de equação; alternativa seria a troca de variável t=\ln x que transforma em equação com coeficientes constantes — mas a tentativa x^{m} é a mais direta aqui.)

Passo 3

Calculemos as derivadas de y=x^{m}. Usando regras elementares de derivação:
y' = m x^{m-1},
y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Agora substituímos essas expressões na EDO:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big) + 5x\big(m x^{m-1}\big) + \frac{25}{4}x^{m} = 0.

Passo 4

Simplificamos fatorando x^{m}. Observe que
x^{2}\cdot x^{m-2}=x^{m},\qquad x\cdot x^{m-1}=x^{m},
então a equação fica
\big(m(m-1) + 5m + \tfrac{25}{4}\big) x^{m} = 0.
Como x>0 temos x^{m}\neq 0, portanto a condição é a parte entre parênteses igual a zero. Assim obtemos a equação característica (algébrica) para m:
m(m-1)+5m+\tfrac{25}{4}=0.

Passo 5

Desenvolvendo a expressão:
m^{2}-m+5m+\tfrac{25}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad m^{2}+4m+\tfrac{25}{4}=0.
É uma equação quadrática em m. Vamos resolvê-la usando a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot \tfrac{25}{4} = 16 - 25 = -9.
Portanto as raízes são complexas:
m = \frac{-4 \pm \sqrt{-9}}{2} = \frac{-4 \pm 3i}{2} = -2 \pm \tfrac{3}{2}i.

Passo 6

Interpretação das raízes complexas: se as raízes da equação característica forem m=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq0), então as duas soluções complexas independentes são x^{\alpha+i\beta} e x^{\alpha-i\beta}. Para obter soluções reais e independentes usamos a identidade (Euler)
x^{\alpha+i\beta}=x^{\alpha}e^{i\beta\ln x}=x^{\alpha}\big(\cos(\beta\ln x)+i\sin(\beta\ln x)\big).
Das duas combinações lineares reais obtemos as soluções reais independentes
x^{\alpha}\cos(\beta\ln x)\quad\text{e}\quad x^{\alpha}\sin(\beta\ln x).
Isso é válido porque x>0 garante que \ln x está bem definido.

Passo 7

Aplicando ao nosso caso: das raízes m=-2\pm \tfrac{3}{2}i temos \alpha=-2 e \beta=\tfrac{3}{2}. Portanto duas soluções reais independentes são
x^{-2}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big)\qquad\text{e}\qquad x^{-2}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big).
A solução geral, sendo uma combinação linear dessas duas soluções independentes, é
y(x)=C_{1}x^{-2}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big)+C_{2}x^{-2}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 8

Resumo rápido do porquê isso resolve no contexto de prova: procurar y=x^{m} reduz a EDO a uma quadrática em m; se as raízes são complexas, transformamos as potências complexas em funções reais usando e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta e \ln x no lugar de \theta. Como x>0, tudo é bem definido. Pronto — solução geral obtida.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-2}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big)+C_{2}x^{-2}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}\ln x\big),\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}

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