Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem
onde
. Informações dadas e relevantes:
- A equação é de ordem 2 e homogênea.
- Os coeficientes dependem de
(há potências de multiplicando as derivadas). - O domínio é
(importante para e para com expoente complexo). - A tarefa é encontrar a solução geral
, com constantes arbitrárias reais.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem formalismos chiques): como a equação tem potências de
multiplicando
e
, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo). Essa tentativa funciona porque derivadas de potências de
geram potências de
com expoentes deslocados, permitindo cancelar fatores em comum e reduzir a EDO a uma equação algébrica para
. (Esse é um método direto e rápido para este tipo de equação; alternativa seria a troca de variável
que transforma em equação com coeficientes constantes — mas a tentativa
é a mais direta aqui.)
Passo 3
Calculemos as derivadas de
. Usando regras elementares de derivação:
Agora substituímos essas expressões na EDO:
Passo 4
Simplificamos fatorando
. Observe que
então a equação fica
Como
temos
, portanto a condição é a parte entre parênteses igual a zero. Assim obtemos a equação característica (algébrica) para
:
Passo 5
Desenvolvendo a expressão:
É uma equação quadrática em
. Vamos resolvê-la usando a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
Portanto as raízes são complexas:
Passo 6
Interpretação das raízes complexas: se as raízes da equação característica forem
(com
reais e
), então as duas soluções complexas independentes são
e
. Para obter soluções reais e independentes usamos a identidade (Euler)
Das duas combinações lineares reais obtemos as soluções reais independentes
Isso é válido porque
garante que
está bem definido.
Passo 7
Aplicando ao nosso caso: das raízes
temos
e
. Portanto duas soluções reais independentes são
A solução geral, sendo uma combinação linear dessas duas soluções independentes, é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 8
Resumo rápido do porquê isso resolve no contexto de prova: procurar
reduz a EDO a uma quadrática em
; se as raízes são complexas, transformamos as potências complexas em funções reais usando
e
no lugar de
. Como
, tudo é bem definido. Pronto — solução geral obtida.