Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A equação é homogênea e linear de segunda ordem.
- O coeficiente do termo de segunda derivada é
, e o domínio dado é (ou seja, ). - A incógnita é
.
O que se pede: encontrar a família de soluções geraisque satisfazem a EDO para .
Passo 2
Observação e mudança de variável útil. Note que a equação tem fatores em
. Para simplificar, faço a mudança de variável
então
. Como
é função linear de
(derivada
), as derivadas de
em relação a
coincidem com as derivadas em relação a
. Ou seja, se escrevermos
com
, então
e
Portanto podemos reescrever a EDO usando
sem complicar as derivadas:
Passo 3
Reconhecimento da forma da equação após a mudança: a equação em
é da forma
Uma estratégia padrão para equações com potências de
multiplicando derivadas é tentar uma solução do tipo potência
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Isso é legítimo porque
, então
é bem definido.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação característica. Temos
Substituindo em
vem
Simplificando potências de
(todas dão
), obtemos
Como
para
, a condição é a equação algébrica (a chamada equação característica)
Passo 5
Resolver a equação característica. Expandindo:
Reconhecemos um quadrado perfeito:
Portanto a raiz é
, com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 6
Conseqüência da raiz dupla: quando o palpite
produz uma raiz dupla
da equação característica numa equação do tipo que temos, a teoria (ou o método de redução de ordem) diz que duas soluções linearmente independentes são
Vou justificar rapidamente o surgimento do fator
de maneira concreta (redução de ordem, versão resumida): suponha
. Procura-se uma segunda solução da forma
. Impondo que
satisfaça uma equação obtida ao substituir em
, chega-se a uma equação de primeira ordem para
cuja solução é proporcional a
, integrando dá
. Assim
é proporcional a
, e
. Isso é o que garante independência linear entre
e
.
Passo 7
Escrever a solução geral em
e voltar para a variável
. A solução geral em
é
onde
são constantes arbitrárias. Voltando a
temos a solução geral da EDO original: