Determine a solução geral das seguintes EDOs. Nesta questão supomos que y=y(x).
(x+1)^{2} y^{\prime \prime}-5(x+1) y^{\prime}+9 y=0, \quad x>-1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial ordinária
(x+1)^{2}y''-5(x+1)y'+9y=0,\qquad x>-1.
Informações dadas:
  • A equação é homogênea e linear de segunda ordem.
  • O coeficiente do termo de segunda derivada é (x+1)^2, e o domínio dado é x>-1 (ou seja, x+1>0).
  • A incógnita é y=y(x).
    O que se pede: encontrar a família de soluções gerais y(x) que satisfazem a EDO para x>-1.

Passo 2

Observação e mudança de variável útil. Note que a equação tem fatores em (x+1). Para simplificar, faço a mudança de variável
t=x+1,
então t>0. Como t é função linear de x (derivada dt/dx=1), as derivadas de y em relação a x coincidem com as derivadas em relação a t. Ou seja, se escrevermos y(x)=Y(t) com t=x+1, então
\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=Y'(t)
e
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\big(Y'(t)\big)=\frac{dY'}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=Y''(t).
Portanto podemos reescrever a EDO usando t sem complicar as derivadas:
t^{2}Y''-5tY'+9Y=0,\qquad t>0.

Passo 3

Reconhecimento da forma da equação após a mudança: a equação em t é da forma
t^{2}Y''-5tY'+9Y=0.
Uma estratégia padrão para equações com potências de t multiplicando derivadas é tentar uma solução do tipo potência
Y(t)=t^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Isso é legítimo porque t>0, então t^r é bem definido.

Passo 4

Calcular as derivadas de Y(t)=t^{r} e substituir na equação característica. Temos
Y'(t)=r t^{r-1},\qquad Y''(t)=r(r-1)t^{r-2}.
Substituindo em
t^{2}Y''-5tY'+9Y=0
vem
t^{2}\big(r(r-1)t^{r-2}\big)-5t\big(r t^{r-1}\big)+9t^{r}=0.
Simplificando potências de t (todas dão t^{r}), obtemos
\big(r(r-1)-5r+9\big)t^{r}=0.
Como t^{r}\neq 0 para t>0, a condição é a equação algébrica (a chamada equação característica)
r(r-1)-5r+9=0.

Passo 5

Resolver a equação característica. Expandindo:
r^{2}-r-5r+9=r^{2}-6r+9=0.
Reconhecemos um quadrado perfeito:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}=0.
Portanto a raiz é \,r=3, com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 6

Conseqüência da raiz dupla: quando o palpite t^{r} produz uma raiz dupla r=r_{0} da equação característica numa equação do tipo que temos, a teoria (ou o método de redução de ordem) diz que duas soluções linearmente independentes são
Y_{1}(t)=t^{r_{0}},\qquad Y_{2}(t)=t^{r_{0}}\ln t.
Vou justificar rapidamente o surgimento do fator \ln t de maneira concreta (redução de ordem, versão resumida): suponha Y_{1}(t)=t^{3}. Procura-se uma segunda solução da forma Y_{2}(t)=u(t)Y_{1}(t)=u(t)t^{3}. Impondo que u' satisfaça uma equação obtida ao substituir em t^{2}Y''-5tY'+9Y=0, chega-se a uma equação de primeira ordem para u' cuja solução é proporcional a 1/t, integrando dá \ln t. Assim u(t) é proporcional a \ln t, e Y_{2}(t)=t^{3}\ln t. Isso é o que garante independência linear entre Y_{1} e Y_{2}.

Passo 7

Escrever a solução geral em t e voltar para a variável x. A solução geral em t é
Y(t)=C_{1}t^{3}+C_{2}t^{3}\ln t,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Voltando a t=x+1 temos a solução geral da EDO original:
y(x)=C_{1}(x+1)^{3}+C_{2}(x+1)^{3}\ln(x+1),\qquad x>-1.

Resposta

y(x)=C_{1}(x+1)^{3}+C_{2}(x+1)^{3}\ln(x+1)

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