Determine a solução do seguinte PVI:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e as condições iniciais:
As informações relevantes que temos são:
Passo 2
Estratégia (escolha do método): vamos construir a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular:
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (colocando o lado direito igual a zero) para obter
. Depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma
adequada ao termo forçante do tipo
. Vou justificar a forma do palpite para
quando necessário.
Passo 3
Resolver a homogênea: suponha uma solução da forma
. Substituindo em
obtém-se a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Logo as raízes são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Escolha da forma de
: o termo forçante é
, que tem a forma
com
e
. A regra prática diz que um palpite para
é
salvo multiplicação por potências de
quando houver ressonância. Devemos checar ressonância: os autovalores da homogênea são
e
. O expoente complexo associado ao forçante seria
; como
não é raiz do polinômio característico (as raízes reais são
e
), não há ressonância que exija multiplicar por
. Portanto tomamos o palpite
onde
e
são constantes reais a determinar.
Passo 5
Calcular
e
. Primeiro definimos para simplificar:
Derivando usando a regra do produto:
Agrupando termos em
e
:
Agora derivamos novamente:
Agrupando coeficientes de
e
obtemos (após simplificar as combinações):
(Se quiser, verifique multiplicando e somando termo a termo — a ideia é coletar
e
.)
Passo 6
Substituir
,
e
na equação diferencial à esquerda
. Como todos os termos têm fator comum
, podemos coletar:
O lado direito da equação é
, ou seja
Igualando coeficientes de
e
(porque
são linearmente independentes) obtemos o sistema linear para
:
Passo 7
Resolver o sistema para
e
. Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Então
Portanto a solução particular é
Passo 8
Escrever a solução geral:
Passo 9
Aplicar as condições iniciais. Primeiro calcule
. Em
,
,
,
, então
A condição
dá
Passo 10
Calcular
e avaliar em
. Para a solução geral já tínhamos as derivadas parciais; em
obtemos
Já calculamos
e
, então
A condição
implica
Passando os termos conhecidos para o outro lado, com denominação comum
, obtemos a equação
Passo 11
Resolver o sistema linear para
Subtraindo as equações (segunda menos primeira) dá (-6C_2=-\dfrac{14874}{2479}], portanto
Então
]
Então
Passo 12
Substituir
,
,
e
na solução geral e simplificar levemente: