Determine a solução do seguinte PVI:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-5 y=-6 e^{-5 x} \operatorname{sen} x, \quad y(0)=\frac{1}{37}, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{37} .

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e as condições iniciais:
y''+4y'-5y=-6e^{-5x}\sin x,
y(0)=\frac{1}{37},\qquad y'(0)=\frac{1}{37}.
As informações relevantes que temos são:
\text{(i)}\quad\text{a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes;}çã
\text{(ii)}\quad\text{o termo forçante é }-6e^{-5x}\sin x;çé
\text{(iii)}\quad\text{duas condições iniciais em }x=0.çõ

Passo 2

Estratégia (escolha do método): vamos construir a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (colocando o lado direito igual a zero) para obter y_h. Depois usamos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma y_p adequada ao termo forçante do tipo e^{ax}\sin(bx). Vou justificar a forma do palpite para y_p quando necessário.

Passo 3

Resolver a homogênea: suponha uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo em y''+4y'-5y=0 obtém-se a equação característica
r^2+4r-5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot(-5)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-4\pm6}{2}.
Logo as raízes são r_1=1 e r_2=-5. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-5x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Escolha da forma de y_p: o termo forçante é -6e^{-5x}\sin x, que tem a forma e^{ax}\sin(bx) com a=-5 e b=1. A regra prática diz que um palpite para y_p é
y_p(x)=e^{ax}(A\cos bx + B\sin bx)
salvo multiplicação por potências de x quando houver ressonância. Devemos checar ressonância: os autovalores da homogênea são 1 e -5. O expoente complexo associado ao forçante seria -5\pm i; como -5\pm i não é raiz do polinômio característico (as raízes reais são 1 e -5), não há ressonância que exija multiplicar por x. Portanto tomamos o palpite
y_p(x)=e^{-5x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
onde A e B são constantes reais a determinar.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p''. Primeiro definimos para simplificar:
y_p(x)=e^{-5x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Derivando usando a regra do produto:
y_p'(x)= -5e^{-5x}(A\cos x + B\sin x)+e^{-5x}(-A\sin x + B\cos x).
Agrupando termos em \cos x e \sin x:
y_p'(x)=e^{-5x}\bigl[(-5A+B)\cos x +(-5B-A)\sin x\bigr].
Agora derivamos novamente:
y_p''(x)=-5e^{-5x}\bigl[(-5A+B)\cos x +(-5B-A)\sin x\bigr] +e^{-5x}\bigl[-(-5A+B)\sin x +(-5B-A)\cos x\bigr].
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos (após simplificar as combinações):
y_p''(x)=e^{-5x}\bigl[(24A-10B)\cos x + (10A+24B)\sin x\bigr].
(Se quiser, verifique multiplicando e somando termo a termo — a ideia é coletar \cos x e \sin x.)

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial à esquerda y''+4y'-5y. Como todos os termos têm fator comum e^{-5x}, podemos coletar:
y_p''+4y_p'-5y_p=e^{-5x}\bigl[(-A-11B)\cos x + (6A-B)\sin x\bigr].
O lado direito da equação é -6e^{-5x}\sin x, ou seja
-6e^{-5x}\sin x = e^{-5x}\bigl[0\cdot\cos x + (-6)\sin x\bigr].
Igualando coeficientes de \cos x e \sin x (porque \{\cos x,\sin x\} são linearmente independentes) obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} -A-11B=0,\\[4pt] 6A-B=-6. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A e B. Da primeira equação temos A=-11B. Substituindo na segunda:
6(-11B)-B=-6 \implies -66B-B=-6\implies -67B=-6\implies B=\frac{6}{67}.
Então
A=-11B=-11\cdot\frac{6}{67}=-\frac{66}{67}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=e^{-5x}\left(-\frac{66}{67}\cos x+\frac{6}{67}\sin x\right).

Passo 8

Escrever a solução geral:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-5x}+e^{-5x}\left(-\frac{66}{67}\cos x+\frac{6}{67}\sin x\right).

Passo 9

Aplicar as condições iniciais. Primeiro calcule y(0). Em x=0, e^{0}=1, \cos0=1, \sin0=0, então
y(0)=C_1+C_2-\frac{66}{67}.
A condição y(0)=\dfrac{1}{37}
C_1+C_2=\frac{1}{37}+\frac{66}{67}=\frac{2509}{2479}.

Passo 10

Calcular y'(x) e avaliar em x=0. Para a solução geral já tínhamos as derivadas parciais; em x=0 obtemos
y'(0)=C_1-5C_2+\bigl(-5A+B\bigr).
Já calculamos A=-\dfrac{66}{67} e B=\dfrac{6}{67}, então
-5A+B=-5\left(-\frac{66}{67}\right)+\frac{6}{67}=\frac{336}{67}.
A condição y'(0)=\dfrac{1}{37} implica
C_1-5C_2+\frac{336}{67}=\frac{1}{37}.
Passando os termos conhecidos para o outro lado, com denominação comum 2479=37\cdot67, obtemos a equação
C_1-5C_2=-\frac{12365}{2479}.

Passo 11

Resolver o sistema linear para C_1\) e \(C_2\): \[\begin{cases} C_1+C_2=\dfrac{2509}{2479},\\[6pt] C_1-5C_2=-\dfrac{12365}{2479}. \end{cases}
Subtraindo as equações (segunda menos primeira) dá (-6C_2=-\dfrac{14874}{2479}], portanto
C_2=\frac{14874}{6\cdot2479}=\frac{2479}{2479}=1.
Então
C_1=\frac{2509}{2479}-C_2=\frac{2509}{2479}-1=\frac{30}{2479}.]

Passo 12

Substituir C_1, C_2, A e B na solução geral e simplificar levemente:
y(x)=\frac{30}{2479}e^{x}+e^{-5x}\left(1-\frac{66}{67}\cos x+\frac{6}{67}\sin x\right).

Resposta

y(x)=\frac{30}{2479}e^{x}+e^{-5x}\left(1-\frac{66}{67}\cos x+\frac{6}{67}\sin x\right)

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