(a) Se o wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}\right)(t) é 3 e^{4 t}, e se y_{1}(t)=e^{2 t}, encontre y_{2}(t).
(b) Encontre uma EDO linear homogênea de 2^{\mathrm{a}} ordem tal que y_{1}(t) e y_{2}(t) formam um conjunto fundamental das suas soluções.

Passo 1

O enunciado dá duas perguntas separadas e as informações abaixo. Lista clara do que é dado e do que se pede:
  • Dado: o wronskiano W\left(y_{1},y_{2}\right)(t)=3e^{4t}.
  • Dado: y_{1}(t)=e^{2t}.
  • (a) Pedido: encontrar y_{2}(t).
  • (b) Pedido: encontrar uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem tal que y_{1} e y_{2} formem um conjunto fundamental de soluções (ou seja, sejam duas soluções linearmente independentes da EDO).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar o que é o wronskiano e como usá‑lo para relacionar y_{1} e y_{2}. Definição do wronskiano para duas funções:
W\left(y_{1},y_{2}\right)(t)=y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}(t).
Aqui y_{1}(t) e y_{2}(t) são as duas funções (soluções) e o apóstrofo indica derivada em relação a t. Vamos usar essa identidade, substituindo y_{1} e o valor de W que foram fornecidos.

Passo 3

Calcule as derivadas necessárias de y_{1} e substitua na definição do wronskiano:
  • Como y_{1}(t)=e^{2t}, temos
y_{1}'(t)=2e^{2t}.
Substituindo na expressão do wronskiano:
y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=3e^{4t}.
Agora substitua y_{1}=e^{2t} e y_{1}'=2e^{2t}:
e^{2t}y_{2}'(t)-2e^{2t}y_{2}(t)=3e^{4t}.
Divida ambos os lados por e^{2t} (que nunca é zero) para simplificar:
y_{2}'(t)-2y_{2}(t)=3e^{2t}.
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem para y_{2}.

Passo 4

Vamos resolver a equação linear
y_{2}'-2y_{2}=3e^{2t}.
Explico o método: para uma equação linear de 1ª ordem do tipo y'+P(t)y=Q(t), o fator integrante é \mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}. Aqui P(t)=-2, então
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.
Multiplicamos a equação inteira por \mu(t):
e^{-2t}y_{2}'-2e^{-2t}y_{2}=3.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-2t}y_{2}, ou seja,
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}y_{2}\big)=3.
Integramos em relação a t:
e^{-2t}y_{2}=3t+C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por e^{2t} obtemos a solução geral para y_{2}:
y_{2}(t)=e^{2t}\big(3t+C\big).
Comentário didático: a constante C corresponde a adicionar um múltiplo de y_{1}(t)=e^{2t} a uma solução particular; isso não altera o wronskiano porque o wronskiano é insensível à adição de múltiplas da primeira função (a combinação linear que adiciona C e^{2t} cancela no wronskiano). Para escolher uma função y_{2} explicitamente linearmente independente de y_{1} podemos tomar C=0, ficando a escolha mais simples
y_{2}(t)=3t\,e^{2t},
que é claramente não proporcional a e^{2t}.

Passo 5

Agora fazemos a parte (b): construir a EDO de 2ª ordem homogênea com coeficiente líder 1 cuja base de soluções seja \{y_{1},y_{2}\}. A forma padrão é
y''+p(t)y'+q(t)y=0.
Uma ferramenta muito útil aqui é a relação de Abel para o wronskiano: para essa forma, o wronskiano satisfaz
W'(t)=-p(t)\,W(t).
Como conhecemos W(t)=3e^{4t}, calculamos W'(t) e obtemos p(t):
W'(t)=12e^{4t},
então
-p(t)=\frac{W'(t)}{W(t)}=\frac{12e^{4t}}{3e^{4t}}=4,
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p(t)=-4.
Assim a equação tem termo p(t)y'=-4y'.

Passo 6

Para encontrar q(t) usamos que y_{1}=e^{2t} é solução da equação. Substituímos y_{1} em
y''+p\,y'+q\,y=0
e resolvemos para q. Calculamos as derivadas de y_{1}:
y_{1}'=2e^{2t},\qquad y_{1}''=4e^{2t}.
Substituindo na equação com p=-4:
4e^{2t}+(-4)\cdot 2e^{2t}+q\cdot e^{2t}=0.
Simplificando o fator e^{2t} (não nulo):
4-8+q=0 \quad\Rightarrow\quad q=4.
Portanto a equação diferencial desejada é
y''-4y'+4y=0.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): tomando y_{2}=3te^{2t},
y_{2}'=3e^{2t}+6te^{2t}=e^{2t}(3+6t),
y_{2}''=2e^{2t}(3+6t)+6e^{2t}=e^{2t}(6+12t+6)=e^{2t}(12+12t).
Substituindo em y''-4y'+4y (fator e^{2t} comum):
(12+12t)-4(3+6t)+4(3t)=12+12t-12-24t+12t=0,
confirmando que y_{2} é solução da EDO encontrada. Bom trabalho — você já tem y_{2} e a equação!

Resposta

y_{2}(t)=e^{2t}\big(3t+C\big) (em particular, y_{2}(t)=3t\,e^{2t} para C=0).
A EDO é \;y''-4y'+4y=0.

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