(a) Se o wronskiano
é
, e se
, encontre
.
(b) Encontre uma EDO linear homogênea de
ordem tal que
e
formam um conjunto fundamental das suas soluções.
(b) Encontre uma EDO linear homogênea de
Passo 1
O enunciado dá duas perguntas separadas e as informações abaixo. Lista clara do que é dado e do que se pede:
- Dado: o wronskiano
. - Dado:
. - (a) Pedido: encontrar
. - (b) Pedido: encontrar uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem tal que
e formem um conjunto fundamental de soluções (ou seja, sejam duas soluções linearmente independentes da EDO).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar o que é o wronskiano e como usá‑lo para relacionar
e
. Definição do wronskiano para duas funções:
Aqui
e
são as duas funções (soluções) e o apóstrofo indica derivada em relação a
. Vamos usar essa identidade, substituindo
e o valor de
que foram fornecidos.
Passo 3
Calcule as derivadas necessárias de
e substitua na definição do wronskiano:
- Como
, temos
Substituindo na expressão do wronskiano:
Agora substitua
e
:
Divida ambos os lados por
(que nunca é zero) para simplificar:
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem para
.
Passo 4
Vamos resolver a equação linear
Explico o método: para uma equação linear de 1ª ordem do tipo
, o fator integrante é
. Aqui
, então
Multiplicamos a equação inteira por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja,
Integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Multiplicando por
obtemos a solução geral para
:
Comentário didático: a constante
corresponde a adicionar um múltiplo de
a uma solução particular; isso não altera o wronskiano porque o wronskiano é insensível à adição de múltiplas da primeira função (a combinação linear que adiciona
cancela no wronskiano). Para escolher uma função
explicitamente linearmente independente de
podemos tomar
, ficando a escolha mais simples
que é claramente não proporcional a
.
Passo 5
Agora fazemos a parte (b): construir a EDO de 2ª ordem homogênea com coeficiente líder
cuja base de soluções seja
. A forma padrão é
Uma ferramenta muito útil aqui é a relação de Abel para o wronskiano: para essa forma, o wronskiano satisfaz
Como conhecemos
, calculamos
e obtemos
:
então
logo
Assim a equação tem termo
.
Passo 6
Para encontrar
usamos que
é solução da equação. Substituímos
em
e resolvemos para
. Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação com
:
Simplificando o fator
(não nulo):
Portanto a equação diferencial desejada é
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): tomando
,
Substituindo em
(fator
comum):
confirmando que
é solução da EDO encontrada. Bom trabalho — você já tem
e a equação!
Resposta
A EDO é