Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\sin (-t)+\cos (-t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''+4y'+4y=\sin(-t)+\cos(-t).
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é \sin(-t)+\cos(-t).
    O objetivo é encontrar a solução geral y(t) que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y''+4y'+4y=0.
Para isso usamos a equação característica. Substituindo y=e^{rt} obtemos a equação característica
r^2+4r+4=0.
Agora resolvemos essa equação algébrica. Note que
r^2+4r+4=(r+2)^2,
logo há uma raíz real dupla r=-2. Quando a equação característica tem uma raiz dupla r=-2, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (explicação: para raiz dupla a base de soluções é e^{rt} e te^{rt}).

Passo 3

Vamos simplificar o lado direito usando identidades trigonométricas. Sabemos que \sin(-t)=-\sin t e \cos(-t)=\cos t. Portanto
\sin(-t)+\cos(-t)= -\sin t + \cos t = \cos t - \sin t.
Então a equação a resolver pode ser vista como
y''+4y'+4y=\cos t - \sin t.

Passo 4

Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular y_p(t). Regras práticas e por que escolhemos a forma:
  • O lado direito é combinação de \cos t e \sin t. Para termos de frequência 1 (isto é, \cos t e \sin t) a forma prova comum é
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar.
  • Antes de ajustar por ressonância, verificamos se \cos t ou \sin t aparecem nas soluções da homogênea. A solução homogênea envolve e^{-2t} e te^{-2t}, não tem termos \cos t ou \sin t. Portanto não há ressonância e podemos usar diretamente y_p(t)=A\cos t + B\sin t.

Passo 5

Calcule as derivadas necessárias de y_p. Se
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
então
y_p'(t) = -A\sin t + B\cos t,
y_p''(t) = -A\cos t - B\sin t.
Substituímos esses na expressão y''+4y'+4y:
y_p''+4y_p'+4y_p = (-A\cos t - B\sin t) + 4(-A\sin t + B\cos t) + 4(A\cos t + B\sin t).

Passo 6

Agrupando os coeficientes de \cos t e \sin t:
  • Coeficiente de \cos t:
(-A) + 4B + 4A = 3A + 4B.
  • Coeficiente de \sin t:
(-B) + 4(-A) + 4B = -4A + 3B.
Logo
y_p''+4y_p'+4y_p = (3A+4B)\cos t + (-4A+3B)\sin t.
Queremos que isso seja igual ao lado direito \cos t - \sin t. Assim obtemos o sistema para A e B comparando coeficientes:
\begin{cases} 3A+4B = 1,\\[4pt] -4A+3B = -1. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema linear:
Multiplicar a primeira equação por 3\) e a segunda por \(4\) para eliminar \(B\): \[\begin{cases} 9A+12B = 3,\\[4pt] -16A+12B = -4. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira (ou somando a segunda multiplicada por -1\]): \[9A+12B -(-16A+12B) = 3 -(-4) \quad\Rightarrow\quad 25A = 7.\] Logo \[A=\dfrac{7}{25}.\] Agora usamos \(3A+4B=1 para achar B:
3\cdot\dfrac{7}{25} + 4B = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{21}{25}+4B=1.
4B = 1-\dfrac{21}{25} = \dfrac{4}{25} \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{1}{25}.]

Passo 8

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(t)=\dfrac{7}{25}\cos t + \dfrac{1}{25}\sin t.
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = (C_1+C_2 t)e^{-2t} + \dfrac{7}{25}\cos t + \dfrac{1}{25}\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t}+\dfrac{7}{25}\cos t+\dfrac{1}{25}\sin t

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