Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito é
.
O objetivo é encontrar a solução geralque é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica. Substituindo
obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação algébrica. Note que
logo há uma raíz real dupla
. Quando a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (explicação: para raiz dupla a base de soluções é
e
).
Passo 3
Vamos simplificar o lado direito usando identidades trigonométricas. Sabemos que
e
. Portanto
Então a equação a resolver pode ser vista como
Passo 4
Agora aplicamos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular
. Regras práticas e por que escolhemos a forma:
- O lado direito é combinação de
e . Para termos de frequência (isto é, e ) a forma prova comum é
onde
e
são constantes a determinar.
- Antes de ajustar por ressonância, verificamos se
ou aparecem nas soluções da homogênea. A solução homogênea envolve e , não tem termos ou . Portanto não há ressonância e podemos usar diretamente .
Passo 5
Calcule as derivadas necessárias de
. Se
então
Substituímos esses na expressão
:
Passo 6
Agrupando os coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Logo
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim obtemos o sistema para
e
comparando coeficientes:
Passo 7
Resolvendo o sistema linear:
Multiplicar a primeira equação por
Subtraindo a segunda da primeira (ou somando a segunda multiplicada por
para achar
:
Passo 8
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.