Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é não homogênea:
Aqui, o conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar essa equação:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem dadas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é da forma
, tentamos uma solução particular da forma:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: