Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=12 e^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é não homogênea:
y'' + 3y' + 2y = 12 e^x
Aqui, o conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y por e^r x:
r^2 + 3r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
Podemos fatorar essa equação:
(r + 1)(r + 2) = 0
Então, as raízes são:
r = -1 e r = -2

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem dadas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y'' + 3y' + 2y = 12 e^x
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é da forma e^x, tentamos uma solução particular da forma:
yp = A e^x

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A e^x
yp'' = A e^x
Substituímos na equação original:
A e^x + 3A e^x + 2A e^x = 12 e^x
Simplificando:
(A + 3A + 2A) e^x = 12 e^x
6A e^x = 12 e^x

Passo 7

Resolvendo para A:
6A = 12
A = 2
Então, a solução particular é:
yp = 2 e^x

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2 e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2 e^x

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