Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea:
Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, a gente monta a equação característica, que é uma equação quadrática baseada nos coeficientes da equação diferencial.
Passo 3
A equação característica fica:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
Fatorando a equação:
Assim, as raízes são:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular também seja uma constante. Vamos chamar de $ y_p $.
Passo 7
Se $ y_p $ é constante, suas derivadas serão zero:
Substituindo na equação:
Então:
Passo 8
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.