Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea:
y'' + 3 y' + 2 y = 4
Aqui, a gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3 y' + 2 y = 0
Para isso, a gente monta a equação característica, que é uma equação quadrática baseada nos coeficientes da equação diferencial.

Passo 3

A equação característica fica:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

Fatorando a equação:
(r + 1)(r + 2) = 0
Assim, as raízes são:
r1 = -1 e r2 = -2

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
y'' + 3 y' + 2 y = 4
Como o lado direito é uma constante, vamos supor que a solução particular também seja uma constante. Vamos chamar de $ y_p $.

Passo 7

Se $ y_p $ é constante, suas derivadas serão zero:
yp
Substituindo na equação:
y'p = 0 e y''p = 0
Então:
0 + 0 + 2 yp = 4

Passo 8

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = yh(x) + yp = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 2,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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