Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
;
Passo 1
O enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termo fonte exponencial complexo, e vamos precisar achar a solução complementar (homogênea) e depois um particular por coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
. A equação característica é
Resolvendo,
Logo temos raízes
e
, e a solução complementar é
onde
Passo 3
Para o particular, fazemos o palpite da forma
, pois o termo fonte é
. Calculamos as derivadas:
Passo 4
Substituindo na equação original, o lado esquerdo vira
Passo 5
Precisamos que isso seja igual a
, então
Assim o particular é
Passo 6
A solução geral é a soma da complementar com o particular: