Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^i x;

Passo 1

O enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem y'' + 3y' + 2y = e^ix. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e termo fonte exponencial complexo, e vamos precisar achar a solução complementar (homogênea) e depois um particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada y'' + 3y' + 2y = 0. A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo,
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Logo temos raízes r1 = -1 e r2 = -2, e a solução complementar é
yc(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o particular, fazemos o palpite da forma yp(x) = A e^ix, pois o termo fonte é e^ix. Calculamos as derivadas:
yp' = iA e^ix, yp'' = -A e^ix

Passo 4

Substituindo na equação original, o lado esquerdo vira
(-A + 3iA + 2A)e^ix = ( ( -1 + 3i + 2)A ) e^ix = (1 + 3i)A ,e^ix

Passo 5

Precisamos que isso seja igual a e^ix, então
(1 + 3i)A = 1 Longrightarrow A = 11 + 3i = 1 - 3i10
Assim o particular é
yp(x) = 1 - 3i10 ,e^ix

Passo 6

A solução geral é a soma da complementar com o particular:

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x + 1 - 3i10 ,e^ix, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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