Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea: $ y’’ + 3y’ + 2y = \sin x
y’’ + 3y’ + 2y = 0 $) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea: $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada, que é $ r^2 + 3r + 2 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^2 + 3r + 2 = 0 $, encontramos as raízes através da fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = 2 $. Calculando:
Então, $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular ($ y_p $) da equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = \sin x $. Como o lado direito é $ \sin x $, vamos assumir uma solução particular na forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Para que a igualdade valha para todos os $ x $, os coeficientes de $ \sin x $ e $ \cos x $ devem ser iguais em ambos os lados:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: $ B = -3A $
Da segunda equação: $ B = -3A $
Substituindo na primeira:
Então, $ B = -3 \times \frac{1}{10} = -\frac{3}{10} $
Passo 8
Com $ A = \frac{1}{10} $ e $ B = -\frac{3}{10} $, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.