Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=sen x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não homogênea: $ y’’ + 3y’ + 2y = \sin x y'' + 3y' + 2y = sin x ééçõéãêçãéçãçãê y’’ + 3y’ + 2y = 0 $) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea: $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica associada, que é $ r^2 + 3r + 2 = 0 $.

Passo 3

Resolvendo a equação característica $ r^2 + 3r + 2 = 0 $, encontramos as raízes através da fórmula de Bhaskara:
r^2 + 3r + 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 3 $ e $ c = 2 $. Calculando:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ($ y_p $) da equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = \sin x $. Como o lado direito é $ \sin x $, vamos assumir uma solução particular na forma:
yp
onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas de $ y_p $:
yp
yp' = A cos x - B sin x
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = -A sin x - B cos x
Simplificando:
yp
yp'

Passo 7

Para que a igualdade valha para todos os $ x $, os coeficientes de $ \sin x $ e $ \cos x $ devem ser iguais em ambos os lados:
x
sin x
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: $ B = -3A $
Substituindo na primeira:
cos x
Então, $ B = -3 \times \frac{1}{10} = -\frac{3}{10} $

Passo 8

Com $ A = \frac{1}{10} $ e $ B = -\frac{3}{10} $, a solução particular é:
A = 110

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^-x + C2 e^-2x + 110 sin x - 310 cos x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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