Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime+y^prime+y=x^2.

Passo 1

Temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem y'' + y' + y = x^2. O conteúdo envolvido é equação linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea associada y'' + y' + y = 0. A equação característica é
r^2 + r + 1 = 0
Suas raízes são r = -1 pm iraiz32. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = e^-x/2l(C1 cosl(tfracraiz3x2r) + C2 sinl(tfracraiz3x2r)r)

Passo 3

Para encontrar uma solução particular, assumimos o palpite polinomial yp = ax^2 + bx + c. Calculando derivadas:
yp' = 2ax + b, yp'' = 2a
Substituindo em y'' + y' + y = x^2 obtém-se
2a + (2ax + b) + (ax^2 + bx + c) = ax^2 + (2a + b)x + (2a + b + c) = x^2
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, temos:
a = 1, 2a + b = 0, 2a + b + c = 0
Daí a=1, b=-2 e c=0, logo
yp(x) = x^2 - 2x

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea e da particular:

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-x/2l(C1 cosl(tfracraiz3x2r) + C2 sinl(tfracraiz3x2r)r) + x^2 - 2x

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