Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
.
Passo 1
Temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
. O conteúdo envolvido é equação linear de coeficientes constantes. Para resolver, vamos obter a solução geral como a soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Começamos pela homogênea associada
. A equação característica é
Suas raízes são
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular, assumimos o palpite polinomial
. Calculando derivadas:
Substituindo em
obtém-se
Igualando coeficientes de
,
e termo constante, temos:
Daí
,
e
, logo
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea e da particular:
Resposta
A solução geral é