Qual das funções abaixo possui os coeficiente da parte cosseno igual a zero e quais possui os coeficientes em relação a seno igual a zero?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir, a partir da paridade de f(x), quais coeficientes da série de Fourier (parte cosseno an ou parte seno bn) são nulos. Vamos usar o conceito de séries de Fourier em funções periódicas de período T=4 e a propriedade de paridade para decidir isso.
Passo 2
Para ver se f(x) é par ou ímpar, calculamos f(-x) e comparamos com f(x). Note que para 1<= x<2 temos -xin(-2,-1), e nesses intervalos f(x)=1 e f(-x)=1; para -1 ambos são zero; e para -2 repete-se o mesmo de (1,2). O resultado é
f(-x)=f(x)
ou seja, f é uma função par.
Passo 3
Uma vez que f é par, pela teoria de séries de Fourier em funções pares, todos os coeficientes de seno são nulos:
bn=0para todo n
Em contrapartida, não há razão para que os coeficientes de cosseno an se anulem em geral.
Passo 4
Portanto, a parte seno da série de Fourier de f(x) desaparece, enquanto a parte cosseno permanece.
Resposta
A função f(x) é par, logo todos os coeficientes de seno bn são zero, e nenhum coeficiente de cosseno an se anula em geral.