Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO não homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
que envolve os métodos de equação característica (para a parte homogênea) e coeficientes a determinar (para a parte particular). Precisaremos achar primeiro a solução homogênea e depois duas soluções particulares, uma para o termo
e outra para o termo
.
Passo 2
Começando pela parte homogênea, montamos a equação característica
Essa equação fatoriza como
logo temos raízes
e
, cada uma com multiplicidade 2. A solução geral homogênea é então
Passo 3
Para o termo polinomial
, usamos palpite do tipo
Calculando derivadas,
e
, de modo que
Queremos
, então
e
. Assim,
Passo 4
Para o termo
, usamos palpite trigonométrico
Então
Substituindo em
, obtemos
Queremos isso igual a
, isto é,
Logo
e
, ou seja
,
. Fica
Passo 5
Juntando tudo, a solução geral da não homogênea é
Resposta
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e{x}+C_{3}e{-x}+C_{4}x e^{-x}+x-\tfrac{1}{4}\sin x