Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^(4)-2 y^prime prime+y=x-sen x.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO não homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes
y^(4) - 2y'' + y = x - sin x,
que envolve os métodos de equação característica (para a parte homogênea) e coeficientes a determinar (para a parte particular). Precisaremos achar primeiro a solução homogênea e depois duas soluções particulares, uma para o termo x e outra para o termo -sin x.

Passo 2

Começando pela parte homogênea, montamos a equação característica
r^4 - 2r^2 + 1 = 0
Essa equação fatoriza como
(r^2 - 1)^2 = 0,
logo temos raízes r = 1 e r = -1, cada uma com multiplicidade 2. A solução geral homogênea é então
yh = C1 e^x + C2 x e^x + C3 e^-x + C4 x e^-x

Passo 3

Para o termo polinomial x, usamos palpite do tipo
yp1 = A x + B
Calculando derivadas, yp1'' = 0 e yp1^(4) = 0, de modo que
L[yp1] = yp1^(4) - 2yp1'' + yp1 = A x + B
Queremos A x + B = x, então A = 1 e B = 0. Assim,
yp1 = x

Passo 4

Para o termo -sin x), usamos palpite trigonométrico
yp2 = K cos x + M sin x
Então
yp2'' = -K cos x - M sin x,
yp2^(4) = K cos x + M sin x
Substituindo em L[y] = y^(4) - 2y'' + y, obtemos
L[yp2] = (Kcos x+Msin x) -2(-Kcos x - Msin x) + (Kcos x+Msin x) = 4Kcos x + 4Msin x
Queremos isso igual a -sin x), isto é,
4K cos x + 4M sin x = -sin x
Logo 4K = 0 e 4M = -1, ou seja K = 0, M = -tfrac14. Fica
yp2 = -tfrac14 sin x

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral da não homogênea é
y = yh + yp1 + yp2 = C1 e^x + C2 x e^x + C3 e^-x + C4 x e^-x + x - tfrac14 sin x

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e{x}+C_{3}e{-x}+C_{4}x e^{-x}+x-\tfrac{1}{4}\sin x

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