Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
;
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, dada por
. Vamos usar o método padrão: encontrar a solução homogênea
e depois uma solução particular
por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos resolvendo a parte homogênea
. A equação característica é
com raízes
Passo 3
Para a parte particular, como o forçante é
, tentamos
pois não há conflito com as raízes da equação característica (que são reais 0 e 3).
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
e substituímos em
Passo 5
Ao substituir, obtemos
Comparando coeficientes, montamos o sistema
Resolvendo, achamos
e
.
Passo 6
Logo, a parte particular fica
Passo 7
A solução geral da equação é a soma da homogênea e da particular:
.