Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime-3 y^prime=2 e^2 x sen x;

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, dada por y''-3y'=2e^2xsin x. Vamos usar o método padrão: encontrar a solução homogênea yh e depois uma solução particular yp por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos resolvendo a parte homogênea y''-3y'=0. A equação característica é
r^2-3r=0
com raízes r=0 e r=3. Portanto a solução homogênea é
yh(x)=C1+C2e^3x

Passo 3

Para a parte particular, como o forçante é 2e^2xsin x, tentamos
yp=e^2x(Asin x+Bcos x),
pois não há conflito com as raízes da equação característica (que são reais 0 e 3).

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp=e^2x(Asin x+Bcos x)
yp'=e^2x((2A - B)sin x+(2B + A)cos x)
yp''=e^2x((3A - 4B)sin x+(4A + 3B)cos x)
e substituímos em y''-3y' para igualar ao termo forçante.

Passo 5

Ao substituir, obtemos
e^2x((-3A - B)sin x+(A - 3B)cos x)=2e^2xsin x
Comparando coeficientes, montamos o sistema
-3A - B = 2,A - 3B = 0
Resolvendo, achamos A=-tfrac35 e B=-tfrac15.

Passo 6

Logo, a parte particular fica
yp=-15e^2x(3sin x+cos x)

Passo 7

A solução geral da equação é a soma da homogênea e da particular: y(x)=yh(x)+yp(x).

Resposta

y(x)=C1+C2e^3x-tfrac15e^2xl(3sin x+cos x)

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