Seja f(u, v)=sen(u v) e considere que u(x, y, t)=t sen(x)+cos (y) e v(x, y, t)=t g(x)+y^2+t. Fazendo z=f(u, v), determine partial z / partial t e partial z / partial x.

Passo 1

Estamos lidando com derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas. Temos z = f(u,v) com f(u,v) = sen(u v), onde u = t sen(x) + cos(y) e v = t g(x) + y² + t. Vamos usar a teoria de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar ∂z/∂t e ∂z/∂x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, primeiro determinamos as derivadas parciais de z em relação a u e v. Como z = sen(u v), temos
partial zpartial u = v cos(u v),
partial zpartial v = u cos(u v)
Isso vem de derivar sen(w) em relação a w e depois w = u v em relação a u ou v.

Passo 3

Agora calculamos ∂z/∂t. Precisamos de u_t e v_t:
partial upartial t = sin(x),
partial vpartial t = g(x) + 1
Pela regra da cadeia:
partial zpartial t = partial zpartial u,ut + partial zpartial v,vt = vcos(u v)sin(x) + ucos(u v)l(g(x)+1r)
Agrupando:
partial zpartial t = cosl(u vr)l[vsin(x) + ul(g(x)+1r)r]

Passo 4

Para ∂z/∂x, primeiro achamos u_x e v_x:
partial upartial x = tcos(x),
partial vpartial x = t,g'(x)
Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = partial zpartial u,ux + partial zpartial v,vx = vcos(u v),tcos(x) + ucos(u v),t,g'(x)
Fatorando t:
partial zpartial x = tcosl(u vr)l[vcos(x) + u,g'(x)r]

Resposta

partial zpartial t = cosl(u vr)l[vsin(x) + ul(g(x)+1r)r],
partial zpartial x = tcosl(u vr)l[vcos(x) + u,g'(x)r]

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