Seja
e considere que
e
. Fazendo
, determine
e
.
Passo 1
Estamos lidando com derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas. Temos z = f(u,v) com f(u,v) = sen(u v), onde u = t sen(x) + cos(y) e v = t g(x) + y² + t. Vamos usar a teoria de derivadas parciais e a regra da cadeia para encontrar ∂z/∂t e ∂z/∂x.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, primeiro determinamos as derivadas parciais de z em relação a u e v. Como z = sen(u v), temos
Isso vem de derivar sen(w) em relação a w e depois w = u v em relação a u ou v.
Passo 3
Agora calculamos ∂z/∂t. Precisamos de u_t e v_t:
Pela regra da cadeia:
Agrupando:
Passo 4
Para ∂z/∂x, primeiro achamos u_x e v_x:
Aplicando a regra da cadeia:
Fatorando t: