Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes a determinar
2 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + 3y' + y = x^{2}.
O conteúdo envolve duas partes:
  1. Resolver a equação homogênea associada usando a equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular y_p por tentativa de um polinômio de grau igual ao do termo forçante.

Passo 2

Primeiro tratamos a parte homogênea
2y'' + 3y' + y = 0.
Escrevemos a equação característica
2r^{2} + 3r + 1 = 0.
O discriminante é \Delta = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1, logo as raízes são
r = \frac{-3 \pm 1}{4} \;\;\Rightarrow\;\; r_{1} = -\tfrac12,\quad r_{2} = -1.
Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}e^{-x/2} + C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para
2y'' + 3y' + y = x^{2}.
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2 e nenhuma raiz da característica é zero, tentamos
y_{p}(x) = Ax^{2} + Bx + C.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_{p}'(x) = 2Ax + B, \quad y_{p}''(x) = 2A.
Substituindo em 2y''+3y'+y:
2(2A) + 3(2Ax + B) + (Ax^{2} + Bx + C) = 4A + 6Ax + 3B + Ax^{2} + Bx + C.
Reagrupando termos em potências de x:
\bigl(A\bigr)x^{2} + \bigl(6A + B\bigr)x + \bigl(4A + 3B + C\bigr).
Isso deve ser igual a x^{2} + 0x + 0. Igualando coeficientes:
\begin{cases} A = 1,\\\\ 6A + B = 0 \;\Rightarrow\; B = -6,\\\\ 4A + 3B + C = 0 \;\Rightarrow\; 4 - 18 + C = 0 \;\Rightarrow\; C = 14. \end{cases}
Logo
y_{p}(x) = x^{2} - 6x + 14.

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{-x/2} + C_{2}e^{-x} + x^{2} - 6x + 14.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{-x/2} + C_{2}e^{-x} + x^{2} - 6x + 14.

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