Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes a determinar
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por coeficientes a determinar, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve duas partes:
- Resolver a equação homogênea associada usando a equação característica.
- Encontrar uma solução particular
por tentativa de um polinômio de grau igual ao do termo forçante.
Passo 2
Primeiro tratamos a parte homogênea
Escrevemos a equação característica
O discriminante é
, logo as raízes são
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 2 e nenhuma raiz da característica é zero, tentamos
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Reagrupando termos em potências de
:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: