Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d S, onde F(x, y, z)=\left(x y^{2}, x^{2} y, y\right) e S é a superfície so sólido lilmitado pelo cilindro x^{2}+y^{2} e pelos planos z=1 \mathrm{e} z=-1, com normal a S apontando para fora do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS
onde F(x,y,z)=(x y^2,\;x^2y,\;y) e S é a superfície fechada do cilindro de raio 1 entre z=-1 e z=1. O normal aponta para fora do sólido. Vamos usar o Teorema da Divergência, transformando o fluxo em um integral de volume do divergente de F.

Passo 2

Calculamos o divergente de F:
\div F = \frac{\partial}{\partial x}(x y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial z}(y) = y^2 + x^2 + 0 = x^2 + y^2.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S} (F\cdot n)\,dS = \iiint_{V} \bigl(x^2+y^2\bigr)\,dV,
onde V é o cilindro \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\,-1\le z\le1\}. Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), temos x^2+y^2=r^2 e dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

O integral torna-se
\int_{z=-1}^{1} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} r^2 \; (r\,dr\,d\theta\,dz) = \int_{z=-1}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^3\,dr\,d\theta\,dz.
Calculando em ordem:
\int_{0}^{1} r^3\,dr = \frac{1}{4}, \quad \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \quad \int_{-1}^{1} dz = 2.
Multiplicando, obtemos
2 \times 2\pi \times \frac{1}{4} = \pi.

Resposta

\pi

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