Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais utilizando o método dos coeficientes a determinar
Usando o método dos coeficientes a determinar, marque a opção que defina a solução geral da Equação
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=8 e^{2 x} :
a) y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} x e^{2 x}+4 x^{2} e^{2 x}
b) y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} x e^{2 x}+4 x e^{2 x}
c) y=C_{1} e^{x}+C_{2} x e^{2 x}+4 x^{2} e^{2 x}
d) y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{2 x}+4 x^{2} e^{2 x}
e) Nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 4y' + 4y = 8e^{2x}
utilizando o método dos coeficientes a determinar. Vamos separar em duas partes: encontrar a solução geral da homogênea e depois uma particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 4y' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \;\Longrightarrow\;(r-2)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=2. Assim
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x}.

Passo 3

Para a parte particular, como o termo à direita é 8e^{2x} e e^{2x} já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, usamos o ansatz
y_p = A x^2 e^{2x}.
Calculando derivadas:
y_p' = A e^{2x}(2x^2 + 2x),
y_p'' = A e^{2x}(4x^2 + 8x + 2).
Substituindo na equação original:
y_p'' - 4y_p' + 4y_p = A e^{2x}\bigl(4x^2+8x+2 - 8x^2 -8x +4x^2\bigr) = 2A e^{2x}.
Para igualar a 8e^{2x}, temos 2A=8, ou seja A=4. Então
y_p = 4x^2 e^{2x}.

Passo 4

A solução geral é
y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 x e^{2x} + 4x^2 e^{2x}.
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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