Considere a superfície cilíndrica dada por
x=\cos u, y=\sin u, \quad z=v, \quad 0 \leq u \leq 2 \pi \text { e } 0 \leq v \leq 1
Determine:
(a) O plano tangente a S em ( 0,1,1 / 2 );
(b) A área de S;
(c) Uma orientação para S;
(d) O fluxo do campo F(x, y, z)=(x, y, z);
(e) A integral \iint_{S} F d S, onde F(x, y, z)=\left(x, y, x^{2} z\right).

Passo 1

O enunciado dá a parametrização de uma superfície cilíndrica
X(u,v) = (\cos u,\;\sin u,\;v),
com 0\le u\le2\pi, 0\le v\le1.
Precisamos determinar:
(a) o plano tangente em (0,1,1/2);
(b) a área de S;
(c) uma orientação para S;
(d) o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,z) através de S;
(e) a integral de superfície \iint_{S}F\,dS para F(x,y,z)=(x,y,x^2z).

Passo 2

Para (a), primeiro achamos (u_0,v_0) tal que
(\cos u_0,\sin u_0,v_0) = (0,1,1/2).
Isso dá u_0=\pi/2, v_0=1/2.
Calculamos as derivadas parciais
X_u = (-\sin u,\cos u,0), \quad X_v=(0,0,1).
Em (u_0,v_0)=(\pi/2,1/2) ficam
X_u(\pi/2,1/2)=(-1,0,0), \quad X_v(\pi/2,1/2)=(0,0,1).
O vetor normal ao plano é dado por
n = X_u\times X_v = (-1,0,0)\times(0,0,1) = (0,1,0).
Logo, a equação do plano tangente é
0\,(x-0) + 1\,(y-1) + 0\,(z-\tfrac12)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=1.

Passo 3

Para (b), a área de S é
\iint_{D}\bigl\|X_u\times X_v\bigr\|\,du\,dv
onde
\bigl\|X_u\times X_v\bigr\| = \bigl\|(\cos u,\sin u,0)\bigr\| = 1.
Como D=[0,2\pi]\times[0,1],
\text{Área}(S) = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}1\,dv\,du = 2\pi\cdot1 = 2\pi.Á

Passo 4

Para (c), uma orientação natural é a que torna o vetor normal
N(u,v)=X_u\times X_v=(\cos u,\sin u,0)
“para fora” do cilindro. Basta usar a parametrização dada com u de 0 a 2\pi e v de 0 a 1.

Passo 5

Para (d), o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,z) é
\iint_{S}F\cdot N\,dudv = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1} (\cos u,\sin u,v)\cdot(\cos u,\sin u,0)\,dv\,du.
O produto escalar vale \cos^2u+\sin^2u=1, então
\text{Fluxo} = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}1\,dv\,du =2\pi.

Passo 6

Para (e), entendemos \iint_{S}F\,dS como o vetor cujas componentes são
\displaystyle\bigl(\iint_{S}x\,dS,\;\iint_{S}y\,dS,\;\iint_{S}x^2z\,dS\bigr).
Usando dS = \|X_u\times X_v\|\,dudv = dudv e x=\cos u, y=\sin u, z=v, temos:
\iint_{S}x\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\cos u\,dv\,du =0,
\iint_{S}y\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\sin u\,dv\,du =0,
\iint_{S}x^2z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\cos^2u\;v\,dv\,du =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2u\,du\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}v\,dv\Bigr) =\pi\cdot\tfrac12 = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

(a) y=1.
(b) \text{Área}=2\piÁ.
(c) Use a orientação dada pelo vetor normal X_u\times X_v=(\cos u,\sin u,0) apontando para fora.
(d) Fluxo de (x,y,z) através de S é 2\pi.
(e) \displaystyle\iint_{S}F\,dS = \bigl(0,0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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