x=\cos u, y=\sin u, \quad z=v, \quad 0 \leq u \leq 2 \pi \text { e } 0 \leq v \leq 1
Determine:
(a) O plano tangente a S em ( 0,1,1 / 2 );
(b) A área de S;
(c) Uma orientação para S;
(d) O fluxo do campo F(x, y, z)=(x, y, z);
(e) A integral \iint_{S} F d S, onde F(x, y, z)=\left(x, y, x^{2} z\right).
Passo 1
O enunciado dá a parametrização de uma superfície cilíndrica
X(u,v) = (\cos u,\;\sin u,\;v),
com 0\le u\le2\pi, 0\le v\le1.
Precisamos determinar:
(a) o plano tangente em (0,1,1/2);
(b) a área de S;
(c) uma orientação para S;
(d) o fluxo de F(x,y,z)=(x,y,z) através de S;
(e) a integral de superfície \iint_{S}F\,dS para F(x,y,z)=(x,y,x^2z).
Passo 2
Para (a), primeiro achamos (u_0,v_0) tal que
(\cos u_0,\sin u_0,v_0) = (0,1,1/2).
Isso dá u_0=\pi/2, v_0=1/2.
Calculamos as derivadas parciais
Para (e), entendemos \iint_{S}F\,dS como o vetor cujas componentes são \displaystyle\bigl(\iint_{S}x\,dS,\;\iint_{S}y\,dS,\;\iint_{S}x^2z\,dS\bigr).
Usando dS = \|X_u\times X_v\|\,dudv = dudv e x=\cos u, y=\sin u, z=v, temos:
(a) y=1.
(b) \text{Área}=2\piÁ.
(c) Use a orientação dada pelo vetor normal X_u\times X_v=(\cos u,\sin u,0) apontando para fora.
(d) Fluxo de (x,y,z) através de S é 2\pi.
(e) \displaystyle\iint_{S}F\,dS = \bigl(0,0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).