Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
y^prime prime-y^prime-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes
y'' - y' - 12,y = 0
O conteúdo aqui é a técnica do polinômio característico: assumimos uma solução do tipo y=e^r x e encontramos os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x,
logo ao substituir na equação diferencial surge o polinômio característico
r^2 - r - 12 = 0

Passo 3

Para resolver
r^2 - r - 12 = 0
calculamos o discriminante
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-12) = 1 + 48 = 49,
portanto as raízes são
r = 1 pm raiz492=1pm72,
isto é,
r1 = 4, r2 = -3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dos expoentes correspondentes:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Resposta

y(x)=C1,e^4x+C2,e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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