Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
(a) y=1x ; x=1 ; x=2 ; y=0, em torno do eixo y.
(b) y=3+2 x-x^2 ; x+y=3, em torno do eixo y.
(c) y=4(x-2)^2 ; y=x^2-4 x+7, em torno do eixo y.
(d) y=4 x-x^2 ; y=8 x-2 x^2, em torno da reta x=-2.
(e) y=ln x ; y=0 ; x=e, em torno do eixo y.
(f) y=raizx ; y=0 ; x=1, em torno do eixo y.
(g) y=21+x^2 ; x=1 ; x=2, em torno do eixo y.
(h) y=21+x^2 ; y=x^2 ; x=1 ; x=2, em torno do eixo y.

Passo 1

A região em cada item é gerada por curvas y=f(x) (e às vezes y=g(x)) entre x=a e x=b, girando em torno de uma reta vertical (eixo y ou x=-2). Usamos o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula é
V = 2pi integrala^b (raio)(a<ura),dx
onde
  • raio = distância da reta de rotação até a abscissa x,
  • altura = ysup(x)-yinf(x).
    Vamos então aplicar essa ideia a cada caso.

Passo 2

(a) Região limitada por y=1x, x=1, x=2, y=0, girando em torno do eixo y.
Aqui
raio=x, a<ura=1x-0=1x, xin[1,2]
Logo
Va = 2pi integral1^2 xcdot1x,dx =2piintegral1^21,dx =2pil[,x,r]1^2 =2pi

Passo 3

(b) Região entre y=3+2x-x^2 e x+y=3 (ou y=3-x), de x=0 a x=3, girando em torno do eixo y.
Interseção em x=0,3. Para xin[0,3],
a<ura=(3+2x-x^2)-(3-x)=3x-x^2, raio=x
Então
Vb = 2piintegral0^3 x,(3x-x^2),dx =2piintegral0^3(3x^2-x^3),dx =2pil[x^3-tfracx^44r]0^3 =2picdottfrac274 =tfrac27pi2

Passo 4

(c) Região entre y=4(x-2)^2 e y=x^2-4x+7, de x=1 a x=3, girando em torno do eixo y.
Diferença:
ysup-yinf =(x^2-4x+7)-4(x-2)^2 =-3x^2+12x-9
Logo
Vc = 2piintegral1^3 x(-3x^2+12x-9),dx =2pil[-tfrac3x^44+4x^3-tfrac9x^22r]1^3 =16pi

Passo 5

(d) Região entre y=4x-x^2 e y=8x-2x^2, de x=0 a x=4, girando em torno da reta x=-2.
Aqui
raio=x-(-2)=x+2, a<ura=(8x-2x^2)-(4x-x^2)=4x-x^2
Então
Vd = 2piintegral0^4(x+2)(4x-x^2),dx =2piintegral0^4(-x^3+2x^2+8x),dx = tfrac256pi3

Passo 6

(e) Região sob y=ln x entre x=1 e x=e, girando em torno do eixo y.
raio=x, a<ura=ln x-0=ln x
Integramos
Ve = 2piintegral1^e xln x,dx =2pil[tfracx^22ln x - tfracx^24r]1^e =2picdottfrace^2+14 =tfracpi2(e^2+1)

Passo 7

(f) Região sob y=raizx de x=0 a x=1, girando em torno do eixo y.
raio=x, a<ura=raizx
Vf = 2piintegral0^1 xraizx,dx =2piintegral0^1x^3/2,dx =2picdottfrac25 =tfrac4pi5

Passo 8

(g) Região sob y=tfrac21+x^2, de x=1 a x=2, girando em torno do eixo y.
raio=x, a<ura=21+x^2
Vg = 2piintegral1^2 2x1+x^2,dx =4pil[tfrac12ln(1+x^2)r]1^2 =2pil(ln5-ln2r) =2piln!tfrac52

Passo 9

(h) Região entre y=21+x^2 (inferior) e y=x^2 (superior), de x=1 a x=2, girando em torno do eixo y.
raio=x, a<ura=x^2-21+x^2
Vh = 2piintegral1^2l(x^3-2x1+x^2r),dx =2pil[tfracx^44-ln(1+x^2)r]1^2 =2pil(tfrac154-lntfrac52r)

Resposta

(a) 2pi
(b) tfrac27pi2
(c) 16pi
(d) tfrac256pi3
(e) tfracpi2(e^2+1)
(f) tfrac4pi5
(g) 2pilntfrac52
(h) 2pil(tfrac154-lntfrac52r)

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