Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
(a)
, em torno do eixo
.
(b)
, em torno do eixo
.
(c)
, em torno do eixo
.
(d)
, em torno da reta
.
(e)
, em torno do eixo
.
(f)
, em torno do eixo
.
(g)
, em torno do eixo
.
(h)
, em torno do eixo
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
A região em cada item é gerada por curvas
(e às vezes
) entre
e
, girando em torno de uma reta vertical (eixo
ou
). Usamos o método das cascas cilíndricas, cuja fórmula é
onde
- raio
distância da reta de rotação até a abscissa , - altura
.
Vamos então aplicar essa ideia a cada caso.
Passo 2
(a) Região limitada por
,
,
,
, girando em torno do eixo
.
Aqui
Aqui
Logo
Passo 3
(b) Região entre
e
(ou
), de
a
, girando em torno do eixo
.
Interseção em . Para
,
Interseção em
Então
Passo 4
(c) Região entre
e
, de
a
, girando em torno do eixo
.
Diferença:
Diferença:
Logo
Passo 5
(d) Região entre
e
, de
a
, girando em torno da reta
.
Aqui
Aqui
Então
Passo 6
(e) Região sob
entre
e
, girando em torno do eixo
.
Integramos
Passo 7
(f) Região sob
de
a
, girando em torno do eixo
.
Passo 8
(g) Região sob
, de
a
, girando em torno do eixo
.
Passo 9
(h) Região entre
(inferior) e
(superior), de
a
, girando em torno do eixo
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)