Esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem:
f(x)= 1-x^2 & -1<x<1 x^2-|x| & x <=-1 ou x >= 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)= 1 - x^2, & -1 < x < 1, x^2 - lvert xrvert, & x <= -1 ou x >= 1,
além de determinar o domínio e a imagem. Vamos analisar separadamente cada ramo (duas parábolas) e depois reunir tudo.

Passo 2

Verificamos onde cada fórmula está definida. A condição “ -1<x<1” mais “ x<= -1 ou x>=1” cobre todos os reais. Portanto o domínio é
Dom(f)=R

Passo 3

Ramo central: para -1<x<1 vale
f(x)=1 - x^2
É uma parábola voltada para baixo, vértice em (0,1) e raízes em x=pm1. Neste intervalo aberto ela varia de
f(0)=1 até limxtopm1f(x)=0, é
isto é, o alcance deste ramo é (0,1].

Passo 4

Ramos externos:
  1. Para x>=1:
    f(x)=x^2-x = x(x-1)
    A derivada f'(x)=2x-1 é positiva para x>=1, logo f cresce em [1,infty). Em x=1 temos
    f(1)=1-1=0,
    e quando xtoinfty, f(x)toinfty. Assim o alcance neste ramo é [0,infty).
  2. Para x<=-1:
    f(x)=x^2+x = x(x+1)
    A derivada f'(x)=2x+1 é negativa para x<=-1, logo f decresce em (-infty,-1]. Em x=-1 vale
    f(-1)=1-1=0,
    e quando xto-infty, f(x)toinfty. Novamente o alcance é [0,infty).

Passo 5

Unindo todos os ramos, vemos que nenhum valor abaixo de 0 aparece e que f atinge todos os valores a partir de 0. Logo a imagem de f é
Im(f)=[0,infty)

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Para x<=-1, a parábola x^2+x decresce de +infty até tocar (-1,0).
  • Para -1<x<1, a parábola invertida 1-x^2 tem vértice em (0,1) e zeros em (pm1,0) (estes últimos se unem aos pontos dos ramos externos).
  • Para x>=1, a parábola x^2-x parte de (1,0) e cresce para +infty.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,infty)

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