Esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
além de determinar o domínio e a imagem. Vamos analisar separadamente cada ramo (duas parábolas) e depois reunir tudo.
Passo 2
Verificamos onde cada fórmula está definida. A condição “
” mais “
ou
” cobre todos os reais. Portanto o domínio é
Passo 3
Ramo central: para
vale
É uma parábola voltada para baixo, vértice em
e raízes em
. Neste intervalo aberto ela varia de
isto é, o alcance deste ramo é
.
Passo 4
Ramos externos:
-
Para
: A derivadaé positiva para , logo cresce em . Em temos e quando, . Assim o alcance neste ramo é . -
Para
: A derivadaé negativa para , logo decresce em . Em vale e quando, . Novamente o alcance é .
Passo 5
Unindo todos os ramos, vemos que nenhum valor abaixo de
aparece e que
atinge todos os valores a partir de
. Logo a imagem de
é
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico:
- Para
, a parábola decresce de até tocar . - Para
, a parábola invertida tem vértice em e zeros em (estes últimos se unem aos pontos dos ramos externos). - Para
, a parábola parte de e cresce para .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: