Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
Resp:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes:
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a ODE num polinômio em
.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo em
obtém-se
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficamos com o polinômio característico
Passo 3
Para resolver
usamos a fórmula de Bhaskara:
Logo, as raízes são complexas com parte real
e parte imaginária
.
Passo 4
Quando as raízes são
, a teoria de equações lineares diz que a solução geral é
Substituindo
e
temos
Renomeando as constantes (
,
) para coincidir com a forma dada, obtemos