Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0, \quad Resp: y(x)=c_{1} e^{x} \sin (2 x)+c_{2} e^{x} \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes:
y'' - 2y' + 5y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico, que transforma a ODE num polinômio em r.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{rx}. Substituindo em
y'' - 2y' + 5y = 0
obtém-se
r^2 e^{rx} - 2r e^{rx} + 5 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficamos com o polinômio característico
r^2 - 2r + 5 = 0.

Passo 3

Para resolver
r^2 - 2r + 5 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i.
Logo, as raízes são complexas com parte real \alpha = 1 e parte imaginária \beta = 2.

Passo 4

Quando as raízes são \alpha \pm i\beta, a teoria de equações lineares diz que a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha = 1 e \beta = 2 temos
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\bigr).
Renomeando as constantes ( C_1\to c_2, C_2\to c_1) para coincidir com a forma dada, obtemos
y(x) = c_1 e^{x}\sin(2x) + c_2 e^{x}\cos(2x).

Resposta

y(x)=c_{1}e^{x}\sin(2x)+c_{2}e^{x}\cos(2x)

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