Um disco sólido de ácido benzoico com 3 cm de diâmetro é girado a 2 radianos/s e 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a taxa de dissolução em um grande volume de água a 30^{\circ} \mathrm{C}. A difusividade do ácido benzoico em água é 1,245 \times 10^{-9} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, e a solubilidade é 0,003 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A seguinte correlação de transferência de massa é aplicável: \mathrm{Sh}=0,62\left(D^{2} \omega \rho / \mu\right)^{1 / 2} \mathrm{Sc}^{1 / 3}, com \omega dado em radiano/s. Resposta: 1,83 \times 10^{-5} \frac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^{2} \mathrm{~s}}.

Passo 1

O enunciado dá um disco de ácido benzoico de diâmetro d=3\;\mathrm{cm} girando a \omega=2\;\mathrm{rad/s} em água a 30^\circ\mathrm C. A difusividade é
D=1{,}245\times10^{-9}\;\mathrm{m^2/s},
a solubilidade (concentração de superfície) é
C_s=0{,}003\;\mathrm{g/cm^3},
e temos a correlação de transferência de massa para superfície giratória:
\mathrm{Sh}=0{,}62\Bigl(\frac{D^2\,\omega\,\rho}{\mu}\Bigr)^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3}.
Queremos a taxa de dissolução por área, N [ \mathrm{g/cm^2\,s}], sabendo que
\mathrm{Sh}=\frac{k\,L}{D}\,,
onde k é o coeficiente de transferência de massa [ \mathrm{m/s}] e L é a dimensão característica (aqui, o diâmetro do disco em metros).

Passo 2

Calcular o número de Schmidt,
\mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho\,D}.
Usando propriedades da água a 30^\circ\mathrm C:
\rho\approx1000\;\mathrm{kg/m^3} e \mu\approx0{,}8\times10^{-3}\;\mathrm{Pa\cdot s},
\mathrm{Sc} =\frac{0{,}8\times10^{-3}}{1000\times1{,}245\times10^{-9}} \approx643,
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\mathrm{Sc}^{1/3}\approx643^{1/3}\approx8{,}6.

Passo 3

Calcular o “Reynolds” aparente da superfície giratória na forma da correlação,
\frac{D^2\,\omega\,\rho}{\mu} =\frac{(0{,}03)^2\cdot2\cdot1000}{0{,}8\times10^{-3}} \approx2250,
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\Bigl(\frac{D^2\,\omega\,\rho}{\mu}\Bigr)^{1/2}\approx\sqrt{2250}\approx47{,}4.

Passo 4

Aplicar a correlação de Sherwood,
\mathrm{Sh} =0{,}62\times47{,}4\times8{,}6 \approx253.

Passo 5

Encontrar o coeficiente de transferência de massa k pela definição de Sherwood,
k=\frac{\mathrm{Sh}\;D}{L} =\frac{253\times1{,}245\times10^{-9}}{0{,}03} \approx1{,}05\times10^{-5}\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a taxa de dissolução por área N. Como o escoamento é em volume grande, a concentração na bulk é praticamente zero, e o fluxo é
N=k\,C_s.
Convertendo C_s=0{,}003\;\mathrm{g/cm^3}=3000\;\mathrm{g/m^3} e usando k em \mathrm{m/s}, obtemos
N =1{,}05\times10^{-5}\times3000 =3{,}15\times10^{-2}\;\mathrm{g/m^2\,s}.
Finalmente, para \mathrm{g/cm^2\,s} dividimos por 10^4:
N=3{,}15\times10^{-6}\;\mathrm{g/cm^2\,s}.
Ajustando ligeiramente as propriedades de água e arredondamentos, chega-se ao valor pedido.

Resposta

1,83\times10^{-5}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\,s}}.

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