Determine a solução geral para as seguintes equações diferencias homogêneas de segunda ordem a coeficientes constantes:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0, \quad Resp: y(x)=c_{1} e^{x / 2}+c_{2} x e^{x / 2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes
4y''-4y'+y=0
Esse tipo de problema se resolve usando a equação característica associada.

Passo 2

Associe à equação diferencial a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}, y'\mapsto r e^{rx}, y''\mapsto r^2 e^{rx}. Assim obtemos
4r^2 - 4r + 1 = 0.

Passo 3

Calcule o discriminante dessa equação quadrática:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 4\cdot 1 = 16 - 16 = 0.
Como \Delta=0, a raiz é única (repetida):
r = \frac{4}{2\cdot 4} = \tfrac12.

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r=\tfrac12, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = \bigl(c_{1} + c_{2}\,x\bigr)e^{rx}.
Substituindo r=\tfrac12
y(x) = \bigl(c_{1} + c_{2}\,x\bigr)e^{x/2}.

Resposta

y(x)=c_{1}e^{x/2}+c_{2}\,x\,e^{x/2}

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