Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=1, \quad Resp: y(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à homogênea, trocando y por e^{rx}:
r^2 - 3r + 2 = 0.
Resolvendo essa equação quadrática, obtemos as raízes
r = 1 \quad\text{e}\quad r = 2.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. Calculamos também a derivada
y'(x) = C_1 e^{x} + 2C_2 e^{2x}.

Passo 4

Aplicando y(0)=1\) e \(y'(0)=1\), temos o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\ C_1 + 2C_2 = 1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda fica C_2 = 0\]. Logo \(C_1 = 1.

Resposta

y(x) = e^{x}.

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