Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
Resolver o PVI y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2+x^{2}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2. [Resp: y=c_{1}+c_{2} e^{-x}+4 x-x^{2}+\left.1 / 3 x^{3}, \operatorname{com} c_{1}=-1, c_{2}=2\right)]

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y'' + y' = 2 + x^2,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=2
que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular, somá-la à solução geral da homogênea e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y'' + y' = 0.
A equação característica é
r^2 + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+1)=0,
portanto r_1=0 e r_2=-1. Logo
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para a particular, o lado direito é um polinômio de grau 2, mas como r=0 é raiz simples da homogênea, multiplicamos o palpite por x. Assim assumimos
y_p(x) = A x^3 + B x^2 + C x.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 3A x^2 + 2B x + C, \qquad y_p'' = 6A x + 2B.
Substituindo em y''+y':
y_p'' + y_p' = (6A x + 2B)+(3A x^2 + 2B x + C) =3A x^2 + (6A+2B)x + (2B + C).
Isso deve igualar 2 + x^2, ou seja
3A = 1,\quad 6A+2B = 0,\quad 2B+C = 2.
Daí A=\tfrac13, 6\cdot\tfrac13+2B=0\implies B=-1 e 2(-1)+C=2\implies C=4. Portanto
y_p(x) = \tfrac13 x^3 - x^2 + 4x.

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-x} + \tfrac13 x^3 - x^2 + 4x.

Passo 5

Agora usamos y(0)=1 e y'(0)=2. Primeiro
y(0)=C_1 + C_2 = 1.
Em seguida
y'(x) = -C_2 e^{-x} + x^2 - 2x + 4,
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y'(0) = -C_2 + 4 = 2 \;\Longrightarrow\; C_2 = 2,\quad C_1 = 1 - C_2 = -1.

Resposta

y(x) = -1 + 2e^{-x} + \tfrac13 x^3 - x^2 + 4x.

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