Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
Resolver o PVI
. [Resp:
]
Resolver o PVI
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI
que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular, somá-la à solução geral da homogênea e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
A equação característica é
portanto
e
. Logo
Passo 3
Para a particular, o lado direito é um polinômio de grau 2, mas como
é raiz simples da homogênea, multiplicamos o palpite por
. Assim assumimos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Isso deve igualar
, ou seja
Daí
,
e
. Portanto
Passo 4
A solução geral da EDO é
Passo 5
Agora usamos
e
. Primeiro
Em seguida
logo