Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{x} \cos x . \quad\left(\right.) Resp:
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{x} \cos x . \quad\left(\right.) Resp:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem a coeficientes constantes não homogênea
Conteúdo: EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes. Estratégia: (i) achar a solução da homogênea, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e (iii) somar as duas.
Passo 2
Começamos pela homogênea
A equação característica é
cuja fórmula de Bhaskara dá
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a particular, como o termo não homogêneo é
e
não é raiz da característica, assumimos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos derivadas de
:
Passo 5
Substituindo na equação original:
Agrupando coeficientes de
e
:
Igualando a
obtém-se o sistema
Passo 6
Assim a solução particular é
Portanto a solução geral da EDO é