Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{x} \cos x . \quad\left(\right.) Resp: \left.y_{G N H}=\frac{1}{8} e^{x}(\cos x+\sin x)+c_{1} e^{-x} \cos x+c_{2} e^{-x} \sin x.\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem a coeficientes constantes não homogênea
y'' + 2y' + 2y = e^x \cos x.
Conteúdo: EDO de 2ª ordem com coeficientes constantes. Estratégia: (i) achar a solução da homogênea, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados e (iii) somar as duas.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' + 2y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0
cuja fórmula de Bhaskara dá
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = e^{-x}\bigl(c_1\cos x + c_2\sin x\bigr).

Passo 3

Para a particular, como o termo não homogêneo é e^x\cos x e 1+i não é raiz da característica, assumimos
y_p = e^x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos derivadas de y_p:
y_p' = e^x\bigl[(A\cos x + B\sin x) + (-A\sin x + B\cos x)\bigr] = e^x\bigl[(A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr],
y_p''= e^x\bigl[(A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr] + e^x\bigl[-(A+B)\sin x + (B - A)\cos x\bigr] = e^x\bigl[2B\cos x - 2A\sin x\bigr].

Passo 5

Substituindo na equação original:
y_p'' + 2y_p' + 2y_p = e^x\bigl[2B\cos x - 2A\sin x\bigr] +2e^x\bigl[(A+B)\cos x + (B - A)\sin x\bigr] +2e^x\bigl[A\cos x + B\sin x\bigr].
Agrupando coeficientes de \cos x e \sin x:
= e^x\bigl[(2B+2(A+B)+2A)\cos x +(-2A+2(B-A)+2B)\sin x\bigr] = e^x\bigl[4(A+B)\cos x +4(B-A)\sin x\bigr].
Igualando a e^x\cos x obtém-se o sistema
4(A+B)=1, \quad 4(B-A)=0 \quad\Longrightarrow\quad A=B=\tfrac18.

Passo 6

Assim a solução particular é
y_p = \tfrac18\,e^x(\cos x + \sin x).
Portanto a solução geral da EDO é
\boxed{ y = y_h + y_p = e^{-x}\bigl(c_1\cos x + c_2\sin x\bigr) + \tfrac18\,e^x\bigl(\cos x + \sin x\bigr). }

Resposta

y = e^{-x}\bigl(c_1\cos x + c_2\sin x\bigr) \;+\;\frac18\,e^x(\cos x + \sin x).

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