Usar o método da Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular para as seguintes e.d.o de segunda ordem:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\frac{e^{3 x}}{x^{2}}. (Resp: y_{p}(x)=e^{3 x} \ln |x|)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para a equação
y'' - 6y' + 9y = \frac{e^{3x}}{x^2}
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso precisamos primeiro da solução geral da homogênea associada e depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação característica da homogênea
y'' - 6y' + 9y = 0
é
r^2 - 6r + 9 = 0 \implies (r-3)^2 = 0,
que tem raiz dupla r=3. Logo uma base de soluções homogêneas é
y_1(x) = e^{3x}, \quad y_2(x) = x\,e^{3x}.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros escrevemos
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x)
e usamos as fórmulas
u_1' = -\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)}, \quad u_2' = \frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde
g(x) = \frac{e^{3x}}{x^2}
é o lado direito dividido pelo coeficiente de y'', e W é o wronskiano de \{y_1,y_2\}.

Passo 4

Calculamos o wronskiano:
y_1' = 3e^{3x}, \quad y_2' = \frac{d}{dx}\bigl(xe^{3x}\bigr) = e^{3x} + 3x e^{3x} = e^{3x}(1+3x).
Então
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ [6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{3x}\cdot e^{3x}(1+3x) \;-\; 3e^{3x}\cdot x e^{3x} = e^{6x}\bigl((1+3x)-3x\bigr) = e^{6x}.

Passo 5

Agora
u_1' = -\frac{g(x)\,y_2}{W} = -\frac{\bigl(e^{3x}/x^2\bigr)\,(x e^{3x})}{e^{6x}} = -\frac{e^{6x}\,x}{x^2\,e^{6x}} = -\frac1x.
Integrando,
u_1(x) = -\int \frac{1}{x}\,dx = -\ln\lvert x\rvert.

Passo 6

De modo análogo,
u_2' = \frac{g(x)\,y_1}{W} = \frac{\bigl(e^{3x}/x^2\bigr)\,e^{3x}}{e^{6x}} = \frac{e^{6x}}{x^2\,e^{6x}} = \frac1{x^2},
e integrando,
u_2(x) = \int \frac1{x^2}\,dx = -\frac1x.

Passo 7

A solução particular é
y_p(x) = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \bigl(-\ln\lvert x\rvert\bigr)e^{3x} \;+\;\Bigl(-\frac1x\Bigr)\,(x e^{3x}) = -e^{3x}\ln\lvert x\rvert \;-\; e^{3x}.
O termo -e^{3x} pertence à solução homogênea e pode ser descartado na escolha de uma particular. Assim, podemos tomar
y_p(x) = e^{3x}\,\ln\lvert x\rvert.

Resposta

y_{p}(x) = e^{3x}\,\ln\lvert x\rvert.

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