(a) Mostre que
é solução da equação diferencial
.
(b) Determine a solução geral da equação. [Resp:
.
21. Resolver o PVI
. [Resp:
.
(b) Determine a solução geral da equação. [Resp:
21. Resolver o PVI
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
(a) mostrar que
é uma solução particular, e (b) encontrar a solução geral. Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI)
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter soluções particulares e a solução geral da homogênea, aplicando depois as condições iniciais.
Passo 2
Para verificar que
é solução particular de
calculamos
Substituindo em
dá
que coincide com o termo de força. Logo
é de fato uma solução particular.
Passo 3
A solução da equação homogênea associada
vem da equação característica
, cujas raízes são
. Portanto
Somando a parte particular, a solução geral é
Passo 4
Agora resolvemos o PVI
A homogênea correspondente é
com característica
. Logo
Para a particular, como o termo de força é polinomial de grau 2, tomamos o palpite
Passo 5
Calculamos as derivadas e montamos
Logo
Igualando a
obtemos o sistema
Dessa forma
,
e
. Então
Passo 6
A solução geral do PVI é
Aplicando
e
:
Assim os constantes ficam
e
.
Resposta
(a) Para
:
(b) Para o PVI
: