(a) Mostre que y_{p}(x)=x / 4 é solução da equação diferencial y^{\prime \prime}+4 y=x.
(b) Determine a solução geral da equação. [Resp: \left.y(x)=x / 4+c_{2} \sin (2 x)+c_{1} \cos (2 x)\right].
21. Resolver o PVI y^{\prime \prime}+y^{\prime}=2+x^{2}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=2. [Resp: y=c_{1}+c_{2} e^{-x}+4 x-x^{2}+ \left.\left.1 / 3 x^{3}, \operatorname{com} c_{1}=-1, c_{2}=2\right)\right].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = x
(a) mostrar que y_{p}(x)=x/4 é uma solução particular, e (b) encontrar a solução geral. Depois, resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' + y' = 2 + x^2,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter soluções particulares e a solução geral da homogênea, aplicando depois as condições iniciais.

Passo 2

Para verificar que y_{p}(x)=x/4 é solução particular de
y''+4y=x,
calculamos
y_{p}'(x)=\frac{1}{4},\qquad y_{p}''(x)=0.
Substituindo em y''+4y
0 + 4\bigl(x/4\bigr)=x,
que coincide com o termo de força. Logo y_{p}(x)=x/4 é de fato uma solução particular.

Passo 3

A solução da equação homogênea associada
y''+4y=0
vem da equação característica r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm2i. Portanto
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
Somando a parte particular, a solução geral é
y(x)=\frac{x}{4}+C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).

Passo 4

Agora resolvemos o PVI
y''+y'=2+x^2,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
A homogênea correspondente é
y''+y'=0
com característica r^2+r=0\implies r=0,-1. Logo
y_{h}(x)=A + B e^{-x}.
Para a particular, como o termo de força é polinomial de grau 2, tomamos o palpite
y_{p}(x)=\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x.

Passo 5

Calculamos as derivadas e montamos
y_{p}'(x)=3\alpha x^2+2\beta x+\gamma, \qquad y_{p}''(x)=6\alpha x+2\beta.
Logo
y_{p}''+y_{p}'=3\alpha x^2+(6\alpha+2\beta)x+(2\beta+\gamma).
Igualando a x^2+2 obtemos o sistema
3\alpha=1,\quad 6\alpha+2\beta=0,\quad 2\beta+\gamma=2.
Dessa forma \alpha=\tfrac{1}{3}, \beta=-1 e \gamma=4. Então
y_{p}(x)=\tfrac{1}{3}x^3 - x^2 +4x.

Passo 6

A solução geral do PVI é
y(x)=A + B e^{-x} + \tfrac{1}{3}x^3 - x^2 +4x.
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=2:
y(0)=A+B=1,
y'(x)=-B e^{-x}+x^2-2x+4 \;\Longrightarrow\; y'(0)=-B+4=2\;\implies\;B=2,\;A=1-2=-1.
Assim os constantes ficam A=-1 e B=2.

Resposta

(a) Para y''+4y=x:
y_{p}(x)=\frac{x}{4},\quad y(x)=\frac{x}{4}+C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
(b) Para o PVI y''+y'=2+x^2,\;y(0)=1,\;y'(0)=2:
y(x)=-1+2e^{-x}+\frac{1}{3}x^3 - x^2 +4x.

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