Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
(y \ln (x)-2) y=x y^{\prime}, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y\ln(x)-2)\,y = x\,y',\quad x>0,
que podemos reescrever como
y' = \frac{\ln(x)}{x}\,y^2 - \frac{2}{x}\,y.
Este é um caso de equação de Bernoulli com expoente n=2. Para resolver, vamos transformá-la numa equação linear via a substituição típica de Bernoulli.

Passo 2

Colocamos a equação no forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n,
identificando
P(x) = \frac{2}{x},\quad Q(x)=\frac{\ln(x)}{x},\quad n=2.

Passo 3

Na equação de Bernoulli faz-se a substituição
z = y^{1-n} = y^{-1}.
Então
z' = -\frac{y'}{y^2}.
Substituindo y' e usando 1/y=z, obtemos
z' \;-\;\frac{2}{x}\,z \;=\; -\frac{\ln(x)}{x}.
É agora uma equação linear em z.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por x^{-2}, vem
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}z\bigr) = -\,x^{-3}\ln(x).
Integramos em x:
x^{-2}z = \int -x^{-3}\ln(x)\,dx = \frac{\ln(x)}{2x^2} + \frac{1}{4x^2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x^2,
z = \frac{\ln(x)}{2} + \frac{1}{4} + C\,x^2.

Passo 5

Voltando à substituição z=1/y, temos
\frac{1}{y} = C\,x^2 + \frac{\ln(x)}{2} + \frac{1}{4},
logo a solução geral é
y(x) = \frac{1}{\,C\,x^2 + \tfrac{1}{2}\ln(x) + \tfrac{1}{4}\,},
com C constante arbitrária.

Resposta

y(x) = \frac{1}{C\,x^2 + \tfrac{1}{2}\ln(x) + \tfrac{1}{4}}, \quad C\in\mathbb{R}.

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