Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
y^{\prime}=1+x+y+x y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' = 1 + x + y + x\,y
Podemos reconhecê-la como uma equação de variáveis separáveis (ou equivalente a uma linear), e vamos usar separação de variáveis para achar a solução geral.

Passo 2

Fatorando o lado direito, escrevemos
y' = (1 + x)(1 + y).
Isso permite separar y de um lado e x do outro.

Passo 3

Passamos 1+y para o denominador em dy e 1+x para o dx:
\frac{dy}{1+y} = (1+x)\,dx.

Passo 4

Integramos cada lado:
\int \frac{dy}{1+y} = \int (1+x)\,dx.
No lado esquerdo vem \ln\bigl|1+y\bigr|,
e no direito
\int (1+x)\,dx = x + \frac{x^2}{2} + C.
Logo
\ln\bigl|1+y\bigr| = x + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados, obtemos
1+y = C_1 \,e^{\,x + \tfrac{x^2}{2}},
com C_1=e^C. Finalmente, isolando y, fica
y = C_1\,e^{x + \tfrac{x^2}{2}} - 1.

Resposta

y(x) = C\,e^{x + \tfrac{x^2}{2}} - 1, onde C é constante arbitrária.

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