Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
y^{\prime}+y \operatorname{cotg}(x)=2 \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + y\,\cot(x) = 2\cos(x).
Para resolver precisamos lembrar que uma EDO linear de 1º ordem na forma
y' + P(x)\,y = Q(x)
admite fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,\mathrm{d}x\Bigr).

Passo 2

Aqui temos
P(x) = \cot(x), \qquad Q(x) = 2\cos(x).
Calculando o fator integrante:
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \cot(x)\,\mathrm{d}x\Bigr) = \exp\bigl(\ln\lvert\sin(x)\rvert\bigr) = \sin(x).

Passo 3

Multiplicamos a EDO por \mu(x)=\sin(x), obtendo
\sin(x)\,y' + \sin(x)\,y\,\cot(x) = 2\sin(x)\cos(x).
Note que \sin(x)\cot(x)=\cos(x), então o lado esquerdo é a derivada do produto \sin(x)\,y:
\bigl(\sin(x)\,y\bigr)' = 2\sin(x)\cos(x).

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(\sin(x)\,y\bigr)' \,\mathrm{d}x = \int 2\sin(x)\cos(x)\,\mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; \sin(x)\,y = \sin^2(x) + C,
pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\sin^2(x)] = 2\sin(x)\cos(x).

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = \frac{\sin^2(x) + C}{\sin(x)} = \sin(x) + C\,\csc(x).

Resposta

\boxed{y(x) = \sin(x) + C\,\csc(x),}
onde C é a constante de integração.

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