Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
\operatorname{sen}(x) y^{\prime}+\cos (x) y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
\sin(x)\,y' + \cos(x)\,y = 1.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x)\,y = Q(x) e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por \sin(x) (supondo \sin(x)\neq0), obtemos
y' + \cot(x)\,y = \csc(x).
Aqui identificamos
P(x)=\cot(x), \quad Q(x)=\csc(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \cot(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln|\sin(x)|\bigr) = \sin(x).
Multiplicando a forma padrão por \mu(x)
\sin(x)\,y' + \cos(x)\,y = 1,
que é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\,y\bigr)=1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\sin(x)\,y = \int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Agora basta isolar y:
y(x) = \frac{x + C}{\sin(x)}.

Resposta

y(x) = \frac{x + C}{\sin(x)},
com C constante arbitrária.

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