Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
(x-4) y^{4}-x^{3}\left(y^{2}-3\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
(x-4)\,y^{4}-x^{3}\bigl(y^{2}-3\bigr)\,y' = 0.
Precisamos reconhecer que y'=\frac{dy}{dx}, isolar esse termo, separar as variáveis x e y e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Escrevendo y'=\frac{dy}{dx} e isolando
(x-4)\,y^{4} = x^{3}\bigl(y^{2}-3\bigr)\,\frac{dy}{dx},
temos
\frac{dy}{dx} = \frac{(x-4)\,y^{4}}{x^{3}\,(y^{2}-3)}.

Passo 3

Separamos as variáveis para ter todos os y num lado e todos os x no outro:
\frac{y^{2}-3}{y^{4}}\,dy = \frac{x-4}{x^{3}}\,dx.

Passo 4

Integramos os dois lados:
\int \frac{y^{2}-3}{y^{4}}\,dy = \int \frac{x-4}{x^{3}}\,dx.

Passo 5

Calculemos separadamente:
Lado esquerdo: \displaystyle \frac{y^{2}-3}{y^{4}} = y^{-2}-3y^{-4},
\int (y^{-2}-3y^{-4})\,dy = \int y^{-2}dy -3\int y^{-4}dy = -y^{-1} + y^{-3} + C_1.
Lado direito: \displaystyle \frac{x-4}{x^{3}}=x^{-2}-4x^{-3},
\int (x^{-2}-4x^{-3})\,dx = -x^{-1} +2x^{-2} + C_2.

Passo 6

Igualando as primitivas e absorvendo C_1-C_2 num único C, obtemos a forma implícita da solução geral:
-\,\frac{1}{y} + \frac{1}{y^{3}} = -\,\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + C.
Podemos reescrever de modo mais simétrico:
\frac{1}{y^{3}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} = C.

Resposta

\frac{1}{y^{3}} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária.

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