Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores reais diferentes)
X^prime=(ccc-1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear autonômo
X' = A,X,
onde
A = -1 & 1 & 0 [6pt] 1 & 2 & 1 [6pt] 0 & 3 & -1
O método geral é diagonalizar A: primeiro calcular os autovalores de A via o polinômio característico, depois achar um autovetor associado a cada autovalor, e por fim escrever a combinação linear de soluções elementares v,e^lambda t.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A:
p(lambda)=det(A-lambda I) =det-1-lambda & 1 & 0 [4pt] 1 & 2-lambda & 1 [4pt] 0 & 3 & -1-lambda
Expandindo pela primeira linha:
p(lambda)=(-1-lambda)det2-lambda & 1 [2pt] 3 & -1-lambda -1cdotdet1 & 1 [2pt] 0 & -1-lambda
Calculando os menores:
det2-lambda & 1 [2pt] 3 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-3 =lambda^2-lambda-5,
det1 & 1 [2pt] 0 & -1-lambda =-1-lambda
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p(lambda)=(-1-lambda)(lambda^2-lambda-5)+(1+lambda) =-(1+lambda)(lambda^2-lambda-6) =-(1+lambda)(lambda-3)(lambda+2) ]

Passo 3

Dos fatores de p(lambda) obtemos os autovalores distintos:
lambda1=-1, lambda2=3, lambda3=-2

Passo 4

Para resolvemos :
Tomando , , um autovetor é
]

Passo 5

Para resolvemos :
Tomando , obtemos
]

Passo 6

Para resolvemos :
Com , um autovetor é
]

Passo 7

Como os três autovalores são reais e distintos, a solução geral é combinação linear das soluções elementares vi e^lambdai t:
X(t) =C1,e^-1 t10-1 +,C2,e^3 t143 +,C3,e^-2 t1-13,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

X(t) =C1,e^-t10-1 +,C2,e^3t143 +,C3,e^-2t1-13

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