Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais com três variáveis: , e . O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema quando os autovalores são repetidos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores, autovetores e como resolver sistemas lineares de equações diferenciais usando esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita o trabalho com autovalores e autovetores. O sistema dado é:
Podemos representar isso como:
Onde e é a matriz dos coeficientes:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos o determinante , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
O determinante de é:
Vamos resolver essa expressão para encontrar os valores de .
Passo 4
Simplificando o determinante:
Portanto, a equação característica é:
Passo 5
Resolvendo a equação característica , podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial para fatorar a equação:
Agora, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Assim, os autovalores são:
Perceba que é repetido.
Passo 6
Com os autovalores encontrados, agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema linear, encontramos o autovetor .
Segundo, para :
Resolvemos :
Como é repetido, precisamos verificar se há um autovetor adicional ou se precisamos encontrar um vetor generalizado.
Passo 7
Encontrando os autovetores para :
Resolvemos:
Simplificando, podemos assumir e resolver para e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Então, o autovetor associado a é:
Passo 8
Agora, para , resolvemos :
[
]
Observamos que as linhas são múltiplas umas das outras. Então, temos apenas duas equações independentes:
Podemos simplificar a segunda equação:
Assumindo , temos:
Substituindo na primeira equação:
Isso significa que é livre. Podemos escolher :
Então, um autovetor associado a é:
Passo 9
Como o autovalor é repetido, precisamos verificar se há um segundo autovetor ou se precisamos de um vetor generalizado. Neste caso, como o espaço das soluções próprias tem dimensão menor que a multiplicidade algébrica, precisamos encontrar um vetor generalizado que satisfaz:
Resolvendo:
[
]
Resolvendo esse sistema, encontramos .
Passo 10
Agora, temos todos os autovalores e os vetores próprios/generalizados. A solução geral do sistema pode ser escrita como: