Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores reais diferentes)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você enviou:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Esses elementos nos ajudarão a construir a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. Isso facilita a identificação dos coeficientes:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para
é:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.