Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores reais diferentes)
d/dt x = x + 2y, d/dt y = 4x + 3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você enviou:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema. Esses elementos nos ajudarão a construir a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. Isso facilita a identificação dos coeficientes:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos agora determinar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Então, um autovetor para é:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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