Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado pede pra encontrar a solução geral do sistema com autovalores repetidos. Vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma matricial. Temos:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o único autovalor é
com multiplicidade 2.
Passo 4
Como o autovalor é repetido, precisamos encontrar os autovetores. Vamos resolver
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
. Então, um autovetor é
.
Passo 5
Como o autovalor é repetido e há apenas um autovetor independente, precisamos encontrar um vetor generalizado. Resolvemos
:
Isso nos dá:
Da primeira equação,
. Podemos escolher
, então
. Assim, o vetor generalizado é
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovetores e o vetor generalizado. A solução é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.