Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
d/dt x = 3x - y d/dt y = 9x - 3y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado pede pra encontrar a solução geral do sistema com autovalores repetidos. Vamos precisar usar a teoria de autovalores e autovetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma matricial. Temos:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então, o único autovalor é com multiplicidade 2.

Passo 4

Como o autovalor é repetido, precisamos encontrar os autovetores. Vamos resolver :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Então, um autovetor é .

Passo 5

Como o autovalor é repetido e há apenas um autovetor independente, precisamos encontrar um vetor generalizado. Resolvemos :
Isso nos dá:
Da primeira equação, . Podemos escolher , então . Assim, o vetor generalizado é .

Passo 6

Agora, podemos escrever a solução geral do sistema usando os autovetores e o vetor generalizado. A solução é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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