Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que tem autovalores repetidos. Basicamente, a gente tem uma matriz que define como o vetor
muda ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores dessa matriz. Como os autovalores se repetem, teremos que encontrar uma solução geral que leva isso em conta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. A matriz que temos é:
Para achar os autovalores (
), resolvemos o polinômio característico:
Calculando:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor repetido
com multiplicidade 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a
. Para isso, resolvemos:
Substituindo:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações simplificam para:
Escolhemos
para facilitar, então
. Portanto, um autovetor é:
Passo 4
Como o autovalor
tem multiplicidade 2, mas apenas um autovetor
, precisamos encontrar um autovetor generalizado
. Isso é necessário para construir a solução geral completa.
Para encontrar
, resolvemos:
Ou seja:
Resolvendo o sistema:
Dividindo a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Percebe-se que as duas equações são iguais, então podemos escolher
para simplificar:
Portanto, o autovetor generalizado é:
Passo 5
Com o autovetor
e o autovetor generalizado
, podemos escrever a solução geral do sistema. Em casos de autovalores repetidos com apenas um autovetor, a solução geral é composta por duas partes:
- A solução principal que envolve
. - Uma solução que envolve
e cresce linearmente com o tempo.
Portanto, a solução geral é:
Substituindo
,
e
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.