Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores repetidos)
X' = (12 -9; 4 0) X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que tem autovalores repetidos. Basicamente, a gente tem uma matriz que define como o vetor muda ao longo do tempo. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores e os autovetores dessa matriz. Como os autovalores se repetem, teremos que encontrar uma solução geral que leva isso em conta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. A matriz que temos é:
Para achar os autovalores ( ), resolvemos o polinômio característico:
Calculando:
Igualando a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor repetido com multiplicidade 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a . Para isso, resolvemos:
Substituindo:
Isso resulta nas equações:
Ambas as equações simplificam para:
Escolhemos para facilitar, então . Portanto, um autovetor é:

Passo 4

Como o autovalor tem multiplicidade 2, mas apenas um autovetor , precisamos encontrar um autovetor generalizado . Isso é necessário para construir a solução geral completa.
Para encontrar , resolvemos:
Ou seja:
Resolvendo o sistema:
Dividindo a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Percebe-se que as duas equações são iguais, então podemos escolher para simplificar:
Portanto, o autovetor generalizado é:

Passo 5

Com o autovetor e o autovetor generalizado , podemos escrever a solução geral do sistema. Em casos de autovalores repetidos com apenas um autovetor, a solução geral é composta por duas partes:
  1. A solução principal que envolve .
  2. Uma solução que envolve e cresce linearmente com o tempo.
Portanto, a solução geral é:
Substituindo , e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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